AMC 8 · 2006 · #10

학년 5 geometry-2d

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration

factorscoordinate-geometryarea-rectanglessystematic-enumeration systematic-enumeration ↑ 선수 지식: factorscoordinate-geometry

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

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문제

호르헤(Jorge)는 가로 w, 세로 l 이 모두 양의 정수이고 넓이가 12 인 직사각형의 순서쌍 (w, l) 을 모두 좌표평면에 찍어야 합니다. 다섯 개의 후보 그래프 중 그 점들이 정확히 일치하는 그래프를 고르세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

Six points $(1,12), (2,6), (3,4), (4,3), (6,2), (12,1)$ on the curve $wl=12$

(B)

Six points on the diagonal line $l=w$: $(1,1), (3,3), (5,5), (7,7), (9,9), (11,11)$

(C)

Six points on the anti-diagonal line $w+l=12$: $(1,11), (3,9), (5,7), (7,5), (9,3), (11,1)$

(D)

Six horizontal points at height $l=6$: $(1,6), (3,6), (5,6), (7,6), (9,6), (11,6)$

(E)

Six vertical points at $w=6$: $(6,1), (6,3), (6,5), (6,7), (6,9), (6,11)$

AMC 8 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 체계적으로 나열하기

문제는 결국 한 가지로 줄어듭니다 — wl = 12 를 만족하는 양의 정수 쌍 (w, l) 은 무엇인가? 도구 #2(체계적으로 나열하기)가 이 작업에 딱 맞습니다. w = 1, 2, 3, … 을 차례로 넣어 l = 12/w 가 양의 정수가 되는 경우만 남기면 됩니다. 목록이 완성되면 도구 #1(그림 그리기)로 각 쌍을 w-l 평면의 점으로 옮겨 다섯 후보와 맞춰 봅니다. 대수도 특별한 요령도 필요 없고, 12 의 약수 쌍을 빠짐없이 적는 것이 전부입니다.

1STEP 1

직사각형 넓이는 가로 × 세로 이고 여기서는 12 로 고정돼 있어, wl = 12 인 양의 정수를 찾습니다.

w × l = 12, w, l ∈ {1, 2, 3, …}

2STEP 2

w = 1, 2, 3, … 을 훑어 12 의 약수만 남기면 여섯 쌍이 나옵니다.

(1, 12), (2, 6), (3, 4), (4, 3), (6, 2), (12, 1)

3STEP 3

각 쌍을 가로 w, 세로 l 인 점으로 찍으면, 여섯 점이 오른쪽 아래로 내려가는 곡선 위에 놓입니다.

점들: (1, 12), (2, 6), (3, 4), (4, 3), (6, 2), (12, 1)

4STEP 4

여섯 점을 그대로 보여 주는 것은 (A) 뿐이고, 나머지 (B)~(E) 는 wl=12 를 만족하지 못합니다.

그래프 (A) 가 일치 → (A)

정답

Six points (1,12), (2,6), (3,4), (4,3), (6,2), (12,1) on the curve wl=12

(A) 의 각 점을 곱으로 빠르게 확인합니다: 1 × 12 = 12, 2 × 6 = 12, 3 × 4 = 12, 4 × 3 = 12, 6 × 2 = 12, 12 × 1 = 12. 여섯 곱이 모두 12 이므로 모든 점이 (w, l) 조건을 만족합니다. 다른 그래프는 점검 한 번에 탈락합니다 — (B) 의 (3, 3) 은 곱이 9 ≠ 12, (C) 의 (1, 11) 은 11 ≠ 12, (D) 의 (1, 6) 은 6 ≠ 12, (E) 는 (6, 1) 만 우연히 6 ≠ 12 — 정확히는 (6, 1) 외에 (6, 3) 의 곱이 18 이라 탈락합니다. 따라서 (A) 만 살아남습니다.

💡핵심 정리

"가로 × 세로 = N 인 모든 (w, l) 을 찍어라" 라는 문제는 결국 N 의 약수 쌍을 모두 찾는 문제입니다. w = 1, 2, 3, … 을 훑어 약수만 남기면 점이 다 모입니다.

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