AMC 8 · 2006 · #23

학년 6 number-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Answer-Choice Plug-In

modular-arithmeticlcmdivisibility-rulessystematic-enumeration systematic-enumerationpattern-recognition ↑ 선수 지식: modular-arithmeticlcmdivisibility-rules

📏 짧은 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

6 으로 나누면 나머지 4, 5 로 나누면 나머지 3 인 가장 작은 양의 정수 N 을 구한 뒤, 그 N 을 7 로 나눈 나머지를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

두 조건은 각각 깔끔한 등차수열을 정해 줍니다. 첫 조건은 "4 에서 시작해 6 씩 더하기", 둘째 조건은 "3 에서 시작해 5 씩 더하기". 그래서 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 두 수열을 적고 가장 먼저 만나는 수가 곧 가장 작은 N 입니다. 도구 #5(패턴 찾기)는 검색을 더 짧게 만들어 줍니다 — 6 의 다음 배수까지 부족분이 2, 5 의 다음 배수까지 부족분도 2 이므로 N + 2 가 5 와 6 의 공배수가 되어야 합니다. 따라서 5, 6 의 최소공배수 30 만 알면 N = 30 - 2 = 28 이 바로 나오죠. 두 도구 모두 같은 N 에 도달하고, 마지막에 7 로 한 번 나누면 끝입니다.

1STEP 1

6 으로 나눠 나머지 4 인 수는 4 에서 시작해 6 씩 커집니다.

4, 10, 16, 22, 28, 34, 40, …

2STEP 2

5 로 나눠 나머지 3 인 수는 3 에서 시작해 5 씩 커집니다.

3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, …

3STEP 3

두 목록을 차례로 보면 처음 겹치는 수가 28, 곧 가장 작은 N 입니다.

{4, 10, 16, 22, 28, …} ∩ {3, 8, 13, 18, 23, 28, …} ∋ 28

4STEP 4

28 을 7 로 나누면 정확히 4, 나머지는 0 입니다.

28 ÷ 7 = 4 나머지 0 → (A)

정답

N = 28 이 원래 두 조건을 만족하는지 확인합니다. 28 = 6 × 4 + 4 이므로 6 으로 나눈 나머지는 4 — 일치. 28 = 5 × 5 + 3 이므로 5 로 나눈 나머지는 3 — 일치. 두 수열을 비교해 보면 28 보다 작은 공통값은 없으니 가장 작은 값도 맞습니다. 그리고 28 = 7 × 4 라 7 로 나눈 나머지는 0, 따라서 답 (A) 와 잘 맞습니다.

💡핵심 정리

두 어색한 나머지가 동시에 등장하면, 두 등차수열이 보통 몇 항 안에 만나요 — 두 조건의 "부족분이 같다" 는 것까지 보이면 최소공배수 한 번으로 답이 나옵니다.

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