경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2006 · #23

학년 6 number-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Answer-Choice Plug-In

modular-arithmeticlcmdivisibility-rulessystematic-enumeration systematic-enumerationpattern-recognition ↑ 선수 지식: modular-arithmeticlcmdivisibility-rules

📏 짧은 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

6으로 나누면 나머지 4, 5로 나누면 나머지 3 인 가장 작은 양의 정수 N 을 구한 뒤, 그 N 을 7로 나눈 나머지를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

두 조건은 각각 깔끔한 등차수열을 정해 줍니다. 첫 조건은 "4 에서 시작해 6 씩 더하기", 둘째 조건은 "3 에서 시작해 5 씩 더하기". 그래서 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 두 수열을 적고 가장 먼저 만나는 수가 곧 가장 작은 N 입니다. 도구 #5(패턴 찾기)는 검색을 더 짧게 만들어 줍니다 — 6의 다음 배수까지 부족분이 2, 5의 다음 배수까지 부족분도 2 이므로 N + 2가 5와 6의 공배수가 되어야 합니다. 따라서 5, 6의 최소공배수 30만 알면 N = 30 - 2 = 28이 바로 나오죠. 두 도구 모두 같은 N 에 도달하고, 마지막에 7로 한 번 나누면 끝입니다.

1STEP 1

첫 조건 수 나열하기

6으로 나눠 나머지 4 인 수는 4 에서 시작해 6 씩 커집니다.

4, 10, 16, 22, 28, 34, 40, …

2STEP 2

둘째 조건 수 나열하기

5로 나눠 나머지 3 인 수는 3 에서 시작해 5 씩 커집니다.

3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, …

3STEP 3

공통 최솟값 찾기

두 목록을 차례로 보면 처음 겹치는 수가 28, 곧 가장 작은 N 입니다.

{4, 10, 16, 22, 28, …} ∩ {3, 8, 13, 18, 23, 28, …} ∋ 28

짧은 두 목록의 교집합 찾기는 두 "배수 조건"을 동시에 만족하는 가장 작은 수를 찾는 가장 깨끗한 4학년 방법.

여섯 명에게 나누면 4개가 남고 다섯 명에게 나누면 3개가 남는 가장 작은 동전 수는 28이다.

▸ 왜?

28은 두 나눔 조건을 동시에 만족하며, 그렇게 되는 첫 번째 수이다. 각 조건에 맞는 수들이 일정한 간격으로 나타나다가 28에서 처음으로 겹치기 때문이다.

▸ 왜?

28을 여섯 명에게 나누면 4가 남는다: 여섯 명이 각각 4개씩 가져가면 24개가 쓰이고, 남은 28 - 24 = 4개는 모두에게 하나씩 더 주기에는 부족하다.

▸ 왜?

4개씩 똑같이 여섯 묶음이면 6 × 4 = 24개가 된다.

곱셈은 같은 크기 묶음a 곱하기 b는 b가 든 같은 묶음 a개 — 같은 양을 반복해서 더하는 것이다.

▸ 왜?

나눠 준 24개와 남긴 4개를 합치면 다시 28개 전체가 되므로, 정확히 4개가 남는다.

전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.

▸ 왜?

28을 다섯 명에게 나누면 3이 남는다: 다섯 명이 각각 5개씩 가져가면 25개가 쓰이고, 남은 28 - 25 = 3개는 모두에게 하나씩 더 주기에는 부족하다.

▸ 왜?

5개씩 똑같이 다섯 묶음이면 5 × 5 = 25개가 된다.

곱셈은 같은 크기 묶음a 곱하기 b는 b가 든 같은 묶음 a개 — 같은 양을 반복해서 더하는 것이다.

▸ 왜?

나눠 준 25개와 남긴 3개를 합치면 다시 28개 전체가 되므로, 정확히 3개가 남는다.

전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.

▸ 왜?

28보다 작은 어떤 수도 두 조건을 함께 만족하지 못한다. 여섯 명 나눔에서 4가 남는 수는 6마다, 다섯 명 나눔에서 3이 남는 수는 5마다 되풀이되므로, 각 목록을 28까지 차례로 적으면 그 아래의 모든 후보를 살펴보게 되고 더 작은 공통값은 나오지 않는다.

▸ 왜?

여섯 명에게 나누어 나머지 4가 되는 수들은 4, 10, 16, 22, 28처럼 앞의 수보다 6씩 커지는 규칙적인 패턴을 이루므로, 이 하나의 패턴이 이미 첫 번째 조건의 모든 후보를 담고 있다.

주기는 한 주기 뒤 제자리로 돌아온다길이가 p인 고정된 반복 주기는 p걸음마다 같은 자리로 돌아온다.

▸ 왜?

다섯 명에게 나누어 나머지 3이 되는 수들은 3, 8, 13, 18, 23, 28처럼 앞의 수보다 5씩 커지는 규칙적인 패턴을 이루므로, 이 하나의 패턴이 이미 두 번째 조건의 모든 후보를 담고 있다.

주기는 한 주기 뒤 제자리로 돌아온다길이가 p인 고정된 반복 주기는 p걸음마다 같은 자리로 돌아온다.

4.OA.B.4Make A Systematic List

4STEP 4

28을 7로 나누기

28을 7로 나누면 정확히 4, 나머지는 0 입니다.

28 ÷ 7 = 4 나머지 0 → (A)

정답

N = 28이 원래 두 조건을 만족하는지 확인합니다. 28 = 6 × 4 + 4 이므로 6으로 나눈 나머지는 4 — 일치. 28 = 5 × 5 + 3 이므로 5로 나눈 나머지는 3 — 일치. 두 수열을 비교해 보면 28 보다 작은 공통값은 없으니 가장 작은 값도 맞습니다. 그리고 28 = 7 × 4 라 7로 나눈 나머지는 0, 따라서 답 (A)와 잘 맞습니다.

💡핵심 정리

두 어색한 나머지가 동시에 등장하면, 두 등차수열이 보통 몇 항 안에 만나요 — 두 조건의 "부족분이 같다" 는 것까지 보이면 최소공배수 한 번으로 답이 나옵니다.

첫 조건 수 나열하기
둘째 조건 수 나열하기
공통 최솟값 찾기
28을 7로 나누기

가족의 부모 대시보드는 sensimlab.com에 있습니다.

첫 조건 수 나열하기

둘째 조건 수 나열하기

공통 최솟값 찾기

28을 7로 나누기

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