AMC 8 · 2006 · #24

학년 6 number-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

digit-constraintsdigit-decompositionplace-valuelogical-deduction pattern-recognitiondigit-constraints ↑ 선수 지식: place-valuemulti-digit-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

곱셈 ABA × CD = CDCD 에서 A, B, C, D 는 서로 다른 네 숫자입니다. A + B 의 값을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 패턴 찾기

CDCD 는 두 자리 묶음 CD 를 두 번 이어 적은 모양입니다. 도구 #5(패턴 찾기)로 이 반복이 abab = ab × 101 이라는 규칙임을 알아챕니다(aa = a × 11 과 같은 자릿값 패턴). 패턴을 찾았으니 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 곱셈 식을 ABA × CD = CD × 101 한 줄로 옮기고, 양변을 CD 로 나누면 ABA 가 곧장 읽힙니다. C, D 를 따로 구할 필요도 없습니다.

1STEP 1

CDCD 는 묶음 CD 를 두 번 쓴 것이라, 자릿값으로 펼치면 CD × 101 이 됩니다.

CDCD = (10C + D) · 100 + (10C + D) = (10C + D) · 101 = CD · 101

2STEP 2

곱셈을 등식으로 바꾸고 1단계를 대입합니다: ABA × CD = CD × 101.

ABA × CD = CDCD = CD · 101

3STEP 3

양변을 CD 로 나눕니다. C ≠ 0 이라 CD 는 0이 아니므로 ABA = 101.

ABA =

\frac{CD · 101}{CD}

= 101

4STEP 4

101 의 자릿수를 읽으면 A = 1, B = 0 이므로 A + B = 1.

A + B = 1 + 0 = 1 ⟹ (A)

정답

구체적인 C, D 로 확인해 봅시다. C = 2, D = 3 으로 두면 CD = 23 이고 ABA × 23 = 101 × 23 = 2323 = CDCD 가 되어 식이 정확히 맞습니다. 사용된 숫자 A = 1, B = 0, C = 2, D = 3 도 모두 다릅니다. A + B = 1 이므로 (A) 와 일치합니다. C = 5, D = 7 로 다시 확인해도 101 × 57 = 5757 으로 같은 패턴이 성립하고 A + B 도 그대로 1. C, D 가 무엇이든 답이 같다는 점이 이 문제를 C, D 없이 풀 수 있는 이유입니다.

💡핵심 정리

자릿수 묶음이 반복되면 — CDCD 가 CD 를 두 번 쓴 모양처럼 — 항상 그 묶음에 101 을 곱한 값으로 분해됩니다. 이 패턴만 알아채면 곱셈 퍼즐이 6학년 일차 등식 한 줄로 풀려요.

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