AMC 8 · 2007 · #10

학년 5 number-theory

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Linear Rate Accumulation

factorsdivisor-countmulti-digit-arithmetic identify-subproblems ↑ 선수 지식: factorsmulti-digit-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

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문제

n 을 n 의 모든 양의 약수의 합으로 정의합니다. 예를 들어 6 = 1 + 2 + 3 + 6 = 12. 11 의 값을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 중첩 표현 11 을 두 개의 단순한 질문으로 분해합니다. 먼저 11 을 수로 바꾸고, 그 수로 그 값 을 다시 계산합니다. 매 단계가 "약수를 빠짐없이 적고 더하기" 한 번이면 끝입니다. 도구 #2(체계적으로 나열하기) 로 약수를 빠뜨리지 않게 1, 2, 3, …, n 순서대로 확인합니다. 대수도 공식도 필요 없는 4학년 약수 작업 두 번입니다.

1STEP 1

안쪽 박스 먼저: 11 은 소수라 약수가 1 과 11 뿐이고, 합은 12.

11 = 1 + 11 = 12

2STEP 2

안쪽부터 대입: 안쪽 박스는 12 이므로 이제 12 의 박스를 구합니다.

11 = 12

3STEP 3

바깥 박스: 12 의 약수를 순서대로 — 1, 2, 3, 4, 6, 12 (5 는 12 를 나누지 못함).

12 = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28

4STEP 4

여섯 약수를 더하면 바깥 박스는 28 — 정답 (D).

11 = 28 → (D)

정답

12 의 약수를 짝지어 검산합니다: 1 · 12 = 12, 2 · 6 = 12, 3 · 4 = 12. 세 쌍의 합은 각각 1+12 = 13, 2+6 = 8, 3+4 = 7. 총합 13 + 8 + 7 = 28. (D) 와 일치합니다. 크기도 자연스럽습니다 — 자기 자신을 뺀 진약수 1, 2, 3, 4, 6 만 더해도 이미 16 이므로, 12 가 12 보다 꽤 큰 것이 당연합니다. 또한

\frac{12}{5}

가 자연수가 아니므로 5 가 빠지는 것도 맞습니다.

💡핵심 정리

기호가 자기 자신 안에 또 들어 있으면 안쪽부터 계산해서 그 값을 대입합니다 — 그러면 이 AMC 8 문제는 4학년 약수 나열 두 번으로 풀립니다.

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