경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2007 · #11

학년 4 logic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search

logical-deductionsystematic-enumeration caseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: logical-deduction

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

네 장의 정사각형 타일 I, II, III, IV 의 네 변에는 각각 숫자가 적혀 있습니다. 회전이나 뒤집기 없이 평행이동만으로 2 × 2 격자의 A(좌상), B(우상), C(좌하), D(우하)에 한 장씩 끼워 넣습니다. 두 타일이 맞닿는 변에서는 양쪽에 같은 수가 적혀 있어야 합니다. C 자리에 들어가는 타일은 어느 것일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

III

(D)

(E)

cannot be determined

AMC 8 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 체계적인 목록 만들기

도구 #2(체계적인 목록 만들기)로 16 개 모서리 숫자를 표 하나에 모두 늘어놓아 놓치지 않도록 합니다. 도구 #13(체계적으로 세기)으로 0~9 각각이 몇 번 등장하는지 셉니다. 핵심 관찰: 2 × 2 격자의 내부 변은 두 타일이 공유하므로 거기에 쓰이는 수는 적어도 두 번 나타나야 합니다. 단 한 번만 등장하는 수는 내부 변에 올 수 없고 바깥 경계로 향해야 합니다. 이 유일성 조건이 한 타일의 자리를 강제로 정하고, 나머지 세 타일은 공유 변을 맞추며 차례로 결정됩니다.

1STEP 1

타일 변 값 표로 만들기

네 타일의 모서리 숫자를 한 표에 정리합니다.

& 위 & 오른쪽 & 아래 & 왼쪽 ; I & 8 & 9 & 7 & 3 ; II & 6 & 3 & 2 & 4 ; III & 7 & 5 & 0 & 1 ; IV & 2 & 1 & 6 & 9

2STEP 2

숫자별 등장 횟수 세기

16 개 모서리 중 0과 5만 한 번씩 나오고, 둘 다 타일 III 에 있습니다(0 아래, 5 오른쪽).

빈도: 0{:}1, 1{:}2, 2{:}2, 3{:}2, 4{:}1, 5{:}1, 6{:}2, 7{:}2, 8{:}1, 9{:}2

3STEP 3

타일 III 놓기

유일한 숫자는 내부 변에 올 수 없어 III 의 아래와 오른쪽이 바깥을 향해야 하고, 그런 자리는 우하단뿐이라 III 은 D 에 갑니다.

III → D

우하단은 한 타일의 아래쪽과 오른쪽이 둘 다 격자 바깥을 향하는 유일한 자리입니다.

전체 숫자들 중 딱 한 번만 나오는 두 수 — 아래쪽의 0 과 오른쪽의 5 — 를 지닌 타일은 격자의 오른쪽 아래 모서리 칸으로 갈 수밖에 없다.

▸ 왜?

모든 내부 변은 두 타일이 맞닿아 같은 숫자를 보여야 하는 곳이므로, 내부 변에 놓인 숫자는 서로 다른 두 타일에 적혀 있다. 그런데 0 과 5 는 각각 한 타일에만 나오므로 어떤 내부 변에도 놓일 수 없고, 대신 바깥 경계를 향할 수밖에 없다.

▸ 왜?

내부 변은 그 숫자를 맞닿은 두 타일에 동시에 적으므로, 어떤 값이든 내부에 나타나는 횟수는 두 개씩 짝을 이뤄 항상 짝수다. 그런데 0 과 5 는 전체에서 홀수 번 — 딱 한 번 — 나타나므로, 홀수인 개수를 짝수 짝만으로 모두 채울 수 없어 적어도 한 번은 내부를 벗어나 바깥 경계로 밀려날 수밖에 없다.

짝수와 홀수(패리티)정수는 2로 나누어지면 짝수, 아니면 홀수; 홀×홀은 홀수, 짝×무엇이든 짝수다.

▸ 왜?

그 한 번뿐인 두 숫자는 처음 향하던 방향 그대로 — 0 은 아래로, 5 는 오른쪽으로 — 유지된다. 타일을 돌리지 않고 밀어서 놓기 때문이다.

▸ 왜?

타일을 돌리지 않고 밀면 자기 복사본 위에 곧게 포개지므로, 각 변은 움직이기 전에 향하던 방향을 그대로 향한다.

강체운동은 길이와 각을 보존한다밀기·돌리기·뒤집기는 도형을 복사본에 딱 포개므로 모든 길이와 각이 그대로 같다(접기는 뒤집기의 경우).

▸ 왜?

2 × 2 격자의 네 칸 중 아래쪽 변과 오른쪽 변이 모두 바깥 경계에 놓인 칸은 오른쪽 아래 칸뿐이므로, 아래와 오른쪽이 모두 바깥을 향해야 하는 타일은 그 자리로만 갈 수 있다.

▸ 왜?

각 칸의 네 변을 이웃과 맞닿는 변과 바깥을 향하는 변으로 나누면 빠짐없이 모든 변이 정리되고, 이로써 아래와 오른쪽이 모두 바깥을 향하는 칸은 오른쪽 아래 칸 하나뿐임이 드러난다.

전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.

4.OA.C.5Convert To Algebra

4STEP 4

타일 III 이웃 맞추기

III 의 위 7 위에는 아래가 7 인 타일(I → B), 왼쪽 1 옆에는 오른쪽이 1 인 타일(IV → C)이 와야 합니다.

I → B, IV → C

5STEP 5

남은 변 확인하기

남은 타일은 II 뿐이라 II → A; 공유 변도 맞습니다(B 와 3 = 3, C 와 2 = 2).

II → A; 3 = 3, 2 = 2 ✓

6STEP 6

답 읽어 내기

답을 읽어 냅니다.

C 에 들어가는 타일은 IV → (D)

정답

최종 배치 smallmatrix II & I ; IV & III smallmatrix 의 네 공유 변을 모두 확인합니다. A-B: II 의 오른쪽 3 = I 의 왼쪽 3 ✓; C-D: IV 의 오른쪽 1 = III 의 왼쪽 1 ✓; A-C: II 의 아래 2 = IV 의 위 2 ✓; B-D: I 의 아래 7 = III 의 위 7 ✓. 네 내부 변이 모두 맞고, 유일하게 한 번만 등장한 0, 4, 5, 8은 모두 바깥 경계에 자리잡았으니 유일성 논증이 그대로 들어맞습니다.

💡핵심 정리

타일 모서리 숫자를 표로 정리한 뒤 빈도를 세요. 단 한 번만 나오는 숫자는 짝지을 수 없으니 바깥쪽을 향할 수밖에 없고, 그 한 가지 관찰만으로 퍼즐 전체가 풀려요.

타일 변 값 표로 만들기
숫자별 등장 횟수 세기
타일 III 놓기
타일 III 이웃 맞추기
남은 변 확인하기
답 읽어 내기

가족의 부모 대시보드는 sensimlab.com에 있습니다.

타일 변 값 표로 만들기

숫자별 등장 횟수 세기

타일 III 놓기

타일 III 이웃 맞추기

남은 변 확인하기

답 읽어 내기

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