경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2007 · #12

학년 6 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

area-trianglesratio-proportionsimilar-figures identify-subproblems ↑ 선수 지식: area-triangles

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

한 변의 길이가 1 인 정육각형의 각 변마다 정삼각형 하나씩, 총 6 개의 정삼각형이 바깥쪽에 붙어 별 모양(헥사그램)을 이룹니다. 바깥쪽 6 개 삼각형의 전체 넓이와 가운데 정육각형 넓이의 비를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

1:1

(B)

6:5

(C)

3:2

(D)

2:1

(E)

3:1

AMC 8 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

도구 #1(그림 그리기)이 핵심입니다. 정육각형의 긴 대각선 세 개를 그어 합동인 정삼각형 6 개로 자르면, 모두 한 변의 길이가 1 인 정삼각형이 됩니다. 그림이 그려진 뒤에는 도구 #5(패턴 찾기)가 마무리합니다 — 바깥쪽 6 개의 돌출부도 한 변의 길이가 1 인 정삼각형이므로 안쪽 조각과 정확히 합동입니다. 합동인 조각의 개수를 세는 것으로 넓이 공식이 필요 없게 됩니다. 넓이 공식도, √(3)도, 대수도 쓰지 않습니다.

1STEP 1

육각형을 삼각형으로 나누기

긴 대각선 세 개를 그으면 정육각형이 한 변이 1 인 정삼각형 6 개로 나뉩니다.

정육각형 = 6 개의 합동인 정삼각형, 각 한 변 = 1

정육각형은 중심에서 꼭짓점까지의 거리가 한 변의 길이와 같기 때문에, 여섯 조각이 각각 정삼각형이 됩니다.

한 변의 길이가 1인 정육각형의 긴 대각선 세 개를 그으면 육각형이 똑같은 정삼각형 여섯 개로 잘리며, 각 삼각형의 한 변의 길이는 1이다.

▸ 왜?

중심에서 여섯 꼭짓점으로 선을 그으면 육각형이 여섯 개의 삼각형으로 나뉘고, 이 조각들은 겹침도 빈틈도 없이 육각형 전체를 채운다.

전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.

▸ 왜?

여섯 삼각형 각각에서 중심으로부터 뻗은 두 변은 서로 같은데, 둘 다 여섯 꼭짓점을 지나는 하나의 원에 닿는 반지름이기 때문이다.

원의 반지름은 일정하다원 위의 모든 점은 중심에서 반지름만큼 떨어져 있어, 한 원의 모든 반지름은 같다.

▸ 왜?

각 삼각형에서 중심에 있는 각은 60도이다.

▸ 왜?

여섯 개의 중심각은 모두 같은데, 육각형을 한 바퀴의 6분의 1만큼 돌리면 자기 자신에 정확히 포개지며 각 삼각형이 이웃 삼각형으로 옮겨지기 때문이다.

강체운동은 길이와 각을 보존한다밀기·돌리기·뒤집기는 도형을 복사본에 딱 포개므로 모든 길이와 각이 그대로 같다(접기는 뒤집기의 경우).

▸ 왜?

같은 크기의 중심각 여섯 개가 모여 한 바퀴 360도를 이루고, 이는 평각 둘을 붙인 것이므로 각각은 60도이다.

평각은 180도직선 위에 나란히 놓인 각들은 언제나 180도를 채운다.

▸ 왜?

각 삼각형의 나머지 두 각도 60도여서 세 각이 모두 같다.

▸ 왜?

두 밑각은 서로 같은데, 중심에서 밑변의 가운데로 그은 선을 따라 삼각형을 접으면 한 밑각의 꼭짓점이 다른 밑각의 꼭짓점에 정확히 포개지기 때문이다.

강체운동은 길이와 각을 보존한다밀기·돌리기·뒤집기는 도형을 복사본에 딱 포개므로 모든 길이와 각이 그대로 같다(접기는 뒤집기의 경우).

▸ 왜?

세 각의 합은 180도이므로, 중심각 60도를 빼고 나면 서로 같은 두 밑각은 각각 60도여야 한다.

삼각형 내각의 합은 180도평평한 삼각형의 세 각은 언제나 평각 하나, 180도가 된다.

▸ 왜?

세 각이 모두 같으므로 세 변도 모두 같아 각 삼각형은 정삼각형이고, 그 밑변이 육각형의 한 변이므로 모든 변의 길이가 1이다.

▸ 왜?

삼각형에서 같은 각을 마주 보는 변은 서로 같으므로, 세 각이 같으면 세 변도 모두 같아진다.

강체운동은 길이와 각을 보존한다밀기·돌리기·뒤집기는 도형을 복사본에 딱 포개므로 모든 길이와 각이 그대로 같다(접기는 뒤집기의 경우).

▸ 왜?

각 삼각형의 밑변은 육각형의 한 변 전체이고 그 길이는 1로 주어졌으므로, 서로 같은 나머지 두 변도 길이가 1이다.

같음의 추이성첫째가 둘째와 같고 둘째가 셋째와 같으면 첫째는 셋째와 같다.

6.G.A.1Draw A Diagram

2STEP 2

여섯 개 확장 삼각형 찾기

각 바깥 돌출부는 정육각형 한 변을 공유하므로 한 변이 1 인 정삼각형 — 안쪽 조각과 합동입니다.

각 돌출부 = 한 변이 1 인 정삼각형 → 안쪽 조각과 합동

3STEP 3

삼각형 하나 넓이에 이름 붙이기

한 변이 1 인 정삼각형 하나의 넓이를 T 라 하면 정육각형은 6T, 6 개 돌출부도 6T 입니다.

정육각형 넓이 = 6T, 6 개 돌출부의 넓이 = 6T

4STEP 4

비 구하기

두 넓이가 같으므로 비는 1{:}1 — 정답 (A).

돌출부/정육각형 = 6T/6T = 1 → 1{:}1 → (A)

정답

1:1

접어서 확인해 봅니다. 별의 바깥 꼭지를 각각 정육각형 변을 따라 안쪽으로 접는다고 상상하면, 접힌 삼각형이 안쪽 6 개 조각 중 하나에 빈틈 없이, 겹침 없이 정확히 포개집니다. 두 삼각형이 합동이 아니면 불가능한 일이므로 넓이가 같다는 결론이 다시 확인됩니다. 또한 6 개의 바깥 삼각형과 6 개의 안쪽 삼각형이 모두 같은 크기라는 대칭과도 잘 맞습니다. (B)~(E)는 돌출부 넓이가 정육각형 넓이보다 크다고 주장하는데, 접기 논증이 그 가능성을 배제합니다.

💡핵심 정리

정육각형을 정삼각형 6 개로 자르면 별의 6 꼭지가 똑같은 삼각형 — 합동인 조각을 세는 것만으로 공식 없이 넓이비가 나옵니다.

육각형을 삼각형으로 나누기
여섯 개 확장 삼각형 찾기
삼각형 하나 넓이에 이름 붙이기
비 구하기

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육각형을 삼각형으로 나누기

여섯 개 확장 삼각형 찾기

삼각형 하나 넓이에 이름 붙이기

비 구하기

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