경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2007 · #8

학년 6 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

area-trianglesarea-rectangles identify-subproblems ↑ 선수 지식: area-rectanglesarea-triangles

📏 짧은 풀이 💡 1 개 인사이트 📊 도형

문제

사다리꼴 ABCD 에서 AD ⊥ DC 이고 AD = AB = 3, DC = 6 입니다. 점 E 는 DC 위에 있고 BE ∥ AD 입니다. △ BEC 의 넓이를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

4.5

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

도구 #1(그림 그리기)이 핵심입니다. 그림에 표시를 더해 보면 AD ⊥ DC이고 BE ∥ AD 이므로, 사각형 ABED 는 두 쌍의 마주보는 변이 평행하고 한 각이 직각인 도형, 즉 직사각형이 됩니다. 더구나 AD = AB = 3 이므로 ABED 는 한 변이 3 인 정사각형이에요. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 사다리꼴을 정사각형 ABED 와 직각삼각형 BEC 로 나누면, 삼각형의 두 변(BE 와 EC) 길이가 그림에서 그대로 읽힙니다. 대수는 필요 없어요.

1STEP 1

정사각형 표시하기

ABED 는 AB ∥ DE, AD ∥ BE, D 의 직각, AD = AB = 3 이므로 한 변 3 인 정사각형입니다.

ABED 는 한 변이 3 인 정사각형

2STEP 2

그림에서 두 변 읽기

ABED 가 정사각형이라 BE = 3, DE = 3 이므로 EC = DC - DE = 6 - 3 = 3 입니다.

EC = DC - DE = 6 - 3 = 3

3STEP 3

삼각형 넓이 구하기

△ BEC 는 E 에서 직각이고 두 변이 BE = 3, EC = 3이라 넓이는 ½ · 3 · 3 = 4.5 → (B).

[△ BEC] = 1/2 · BE · EC = 1/2 · 3 · 3 = 9/2 = 4.5 → (B)

두 변 길이만 알면 6학년 넓이 공식으로 한 줄에 정리됩니다.

삼각형 BEC는 E에서 직각을 이루며 두 변 BE = 3, EC = 3이므로, 그 넓이는 이 두 변의 곱의 절반이다.

▸ 왜?

△ BEC의 E에 있는 모서리는 직각인데, BE가 밑변 DC에 수직으로 서 있기 때문이다.

▸ 왜?

BE는 AD와 평행하고, DC는 이 두 평행한 선분을 가로지른다; 가로지르는 선은 같은 위치의 각을 서로 같게 만들므로, AD가 D에서 DC와 이루는 직각이 BE가 E에서 DC와 만나는 곳에 그대로 옮겨진다.

평행선의 횡단선은 같은 각을 만든다두 평행선을 가로지르는 선은 같은 위치의 동위각과 엇각을 서로 같게 만든다.

▸ 왜?

두 변 모두 길이가 3이다: 세로 변 BE는 변 AD와 같고, 가로 변 EC는 DC에서 DE를 뺀 나머지이다.

▸ 왜?

BE는 선분 AD를 옆으로 곧게 밀어 B와 E를 지나게 한 것이며, 선분을 돌리지 않고 밀면 길이가 그대로이므로 BE = AD = 3이다.

강체운동은 길이와 각을 보존한다밀기·돌리기·뒤집기는 도형을 복사본에 딱 포개므로 모든 길이와 각이 그대로 같다(접기는 뒤집기의 경우).

▸ 왜?

E는 DC 위에 있어 그것을 DE와 EC로 나눈다; DE가 3이고 두 조각이 합쳐 DC = 6을 채우므로, 남은 EC는 3이다.

▸ 왜?

DE는 변 AB를 아래로 곧게 밀어 밑변 위에 놓은 것이며, 밀어도 길이는 그대로이므로 DE = AB = 3이다.

강체운동은 길이와 각을 보존한다밀기·돌리기·뒤집기는 도형을 복사본에 딱 포개므로 모든 길이와 각이 그대로 같다(접기는 뒤집기의 경우).

▸ 왜?

DE와 EC는 E에서 빈틈도 겹침도 없이 만나므로, 두 길이를 더하면 전체 길이 DC가 된다.

전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.

▸ 왜?

이 직각삼각형의 넓이는 두 변의 곱의 절반인데, 이 삼각형이 두 변으로 만든 직사각형의 정확히 절반이기 때문이다.

▸ 왜?

BE와 EC를 변으로 하는 직사각형을 그리면, 그 대각선 BC가 직사각형을 서로 정확히 포개지는 두 삼각형으로 나누므로, △ BEC는 그 직사각형의 똑같은 두 절반 중 하나이다.

강체운동은 길이와 각을 보존한다밀기·돌리기·뒤집기는 도형을 복사본에 딱 포개므로 모든 길이와 각이 그대로 같다(접기는 뒤집기의 경우).

6.G.A.1Identify Subproblems

정답

4.5

사다리꼴 넓이를 두 가지 방법으로 검산합니다. 공식: [ABCD] =

\frac{1}{2}

(AB + DC) · AD =

\frac{1}{2}

(3 + 6) · 3 =

\frac{27}{2}

= 13.5. 분할: [정사각형 ABED] + [△ BEC] = 9 + 4.5 = 13.5. 두 값이 일치하므로 △ BEC 의 넓이 4.5가 맞습니다. 또한 △ BEC 는 사다리꼴의 한 모서리 조각일 뿐이므로 (E) 18 처럼 사다리꼴 전체보다 큰 값은 불가능 — 4.5는 자연스럽게 사다리꼴 안에 들어옵니다.

💡핵심 정리

사다리꼴의 한 변이 기울어져 있을 때는 윗 꼭짓점에서 수선을 내려 봅니다. 사다리꼴이 직사각형(또는 정사각형)과 직각삼각형으로 쪼개지면, 삼각형의 두 변 길이가 그림에서 곧바로 읽힙니다.

정사각형 표시하기
그림에서 두 변 읽기
삼각형 넓이 구하기

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정사각형 표시하기

그림에서 두 변 읽기

삼각형 넓이 구하기

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