AMC 8 · 2007 · #14

학년 8 geometry-2d

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Weighted Group Aggregation

area-trianglespythagorean-theoremisosceles-triangle identify-subproblems ↑ 선수 지식: area-trianglespythagorean-theorem

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

이등변삼각형 △ ABC의 밑변 길이는 24이고 넓이는 60입니다. 길이가 같은 두 변(등변) 중 하나의 길이를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

자연스러운 시작은 도구 #1(그림 그리기)입니다. 이등변삼각형을 그리고 꼭짓점에서 밑변으로 수선을 내려보세요. 이등변삼각형에서는 그 수선이 밑변을 이등분하므로 그림이 합동인 두 직각삼각형으로 쪼개집니다. 그 결과 우리가 찾는 등변은 직각삼각형의 빗변이 되고, 문제는 피타고라스 정리 한 줄짜리 계산으로 바뀝니다. 도구 #5(규칙 찾기)는 마무리 도구예요. 두 변이 5와 12로 나오면, 유명한 5-12-13 피타고라스 수임을 알아채는 순간 빗변 13이 바로 보입니다 — 제곱근 계산도 필요 없죠.

1STEP 1

꼭짓점 A에서 밑변 BC로 수선을 내리면, 이등변삼각형에서는 밑변을 이등분하므로 BM = MC = 12이고 M에서 직각이 생깁니다.

BM = MC =

\frac{24}{2}

= 12, ∠ AMB = 90°

2STEP 2

넓이 공식을 거꾸로 읽으면 60 = $\frac{1}{2}$ × 24 × AM에서 높이 AM = 5로 정해집니다.

60 =

\frac{1}{2}

× 24 × AM → 60 = 12 · AM → AM = 5

3STEP 3

△ AMB의 두 변이 AM = 5, BM = 12이므로 빗변 AB는 5-12-13 피타고라스 수의 13, 제곱근 계산이 필요 없습니다.

AB² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169 → AB = 13 → (C)

정답

삼각부등식으로 확인합니다: 세 변 13, 13, 24에 대해 13 + 13 = 26 ＞ 24이므로 삼각형이 실제로 만들어집니다(꽤 납작한 모양이 되지만요). 넓이도 다시 계산해 봅니다 — 밑변 24, 높이 5이면 넓이는

\frac{1}{2}

· 24 · 5 = 60으로 문제와 일치합니다. 다른 선택지를 보면 5는 높이 자체(함정), 8은 어디서도 맞지 않고, 14, 18은 각각 높이가 √(14² - 12²) = √(52), √(18² - 12²) = √(180)이 되어 5와 다릅니다. 13만이 들어맞습니다.

💡핵심 정리

이등변삼각형에서 수선을 내리면 밑변이 이등분돼요 — 그림이 곧바로 직각삼각형을 만들어 주고, 5-12-13 피타고라스 수가 답을 마무리합니다.

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