AMC 8 · 2007 · #19

학년 6 number-theory

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paritylinear-equations-one-varperfect-squares convert-to-algebrabound-inequality-then-enumerate ↑ 선수 지식: paritylinear-equations-one-var

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

합이 100 보다 작은 연속된 두 양의 정수를 고릅니다. 두 수를 각각 제곱하고 큰 제곱에서 작은 제곱을 뺀 값이 다음 보기 중 어느 것일 수 있을까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

131

AMC 8 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 패턴 찾기

제곱해서 빼라니 무거워 보이지만, 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기) 로 가장 작은 쌍부터 직접 계산해 보면 됩니다. 결과가 깔끔한 규칙으로 정렬되니까 그게 바로 도구 #5(패턴 찾기) — 연속된 두 정수의 제곱의 차는 두 수의 합과 같아서, 항상 홀수이고 100 보다 작아야 합니다. 그러면 도구 #3(가능성 지우기) 으로 "홀수이고 100 보다 작다" 조건에 안 맞는 보기를 전부 지웁니다. 식을 세우는 도구 #13(대수로 바꾸기) 까지 갈 필요 없이, 작은 케이스의 패턴만으로 결정됩니다.

1STEP 1

문제를 줄여서(도구 #9) 작은 쌍의 제곱의 차를 직접 구합니다 — 3, 5, 7, 9.

2² - 1² = 4 - 1 = 3 3² - 2² = 9 - 4 = 5 4² - 3² = 16 - 9 = 7 5² - 4² = 25 - 16 = 9

2STEP 2

패턴 포착: 그 홀수들은 정확히 두 수의 합이라, 제곱의 차는 2n + 1 과 같습니다.

(n+1)² - n² = n + (n+1) = 2n + 1

3STEP 3

두 필터를 뽑습니다: 제곱의 차 2n + 1 은 항상 홀수이고, 100 보다 작습니다.

제곱의 차 = 2n + 1 은 홀수이고 2n + 1 ＜ 100

4STEP 4

두 필터 적용(도구 #3): 2, 64, 96 은 짝수, 131 은 99 초과 — 79 만 홀수이고 100 미만으로 살아남습니다.

(A) 2 짝수 ✗ (B) 64 짝수 ✗ (C) 79 홀수이고 79 ＜ 100 ✓ (D) 96 짝수 ✗ (E) 131 ＞ 99 ✗

5STEP 5

실제로 만들어지는지 확인: 2n + 1 = 79 → n = 39, 40² - 39² = 79. 답은 (C).

2n + 1 = 79 → n = 39 40² - 39² = 1600 - 1521 = 79 → (C)

정답

제곱의 차 공식으로 다시 확인합시다: (n+1)² - n² = (n+1+n)(n+1-n) = (2n+1)(1) = 2n+1. 즉 제곱의 차는 두 수의 합과 같고, 문제 조건상 그 합은 100 보다 작으며, 연속된 두 정수 중 하나는 짝수·하나는 홀수이므로 합은 항상 홀수입니다. 보기 중 100 보다 작은 홀수는 79 뿐이고, 짝 39, 40 이 실제로 그 값을 만들어 줍니다. 답 (C) 가 일관됩니다.

💡핵심 정리

연속된 두 정수의 제곱의 차는 그냥 두 수의 합 — 항상 홀수이고, 여기서는 100 보다 작아야 해요. 이 한 가지 사실로 네 보기가 떨어지고 (C) 79 가 남습니다.

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