AMC 8 · 2007 · #24

학년 7 probability

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination

probability-basicdigit-sumdivisibility-rulescombinations-basic caseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: divisibility-rulesprobability-basic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

주머니에 1, 2, 3, 4 이 하나씩 적힌 종이 네 장이 들어 있습니다. 한 번에 한 장씩, 다시 넣지 않고 세 장을 뽑아 뽑은 순서대로 세 자리 수를 만듭니다. 이 세 자리 수가 3 의 배수일 확률을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{4}$

(B)

$\frac{1}{3}$

(C)

$\frac{1}{2}$

(D)

$\frac{2}{3}$

(E)

$\frac{3}{4}$

AMC 8 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 관점 바꾸기 / 셀 대상 바꾸기

순서가 있는 4 × 3 × 2 = 24 가지 뽑기 결과를 일일이 세도 되지만, 자리 숫자 합 규칙에 따르면 3 의 배수 여부는 어떤 숫자가 뽑혔는지만 결정합니다 — 순서는 상관없죠. 도구 #16(관점 바꾸기)으로 셈의 대상을 24 개의 순서 있는 수에서 {1,2,3,4} 의 크기 3 인 부분집합 4 개로 바꿉니다. 각 부분집합은 3! = 6 가지 순서로 펼쳐지므로 똑같이 일어날 확률을 가집니다. 그다음 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 네 부분집합을 차례로 적고 각각의 자리 숫자 합이 3 의 배수인지 확인합니다. 넷 중 둘이 통과하므로 확률은 $\frac{2}{4}$ = $\frac{1}{2}$ .

1STEP 1

3 의 배수 여부는 오직 자리 숫자 합에만 달려 있어, 같은 세 숫자를 어떻게 배열해도 답은 변하지 않습니다.

abc 가 3 의 배수 ⇔ a+b+c 가 3 의 배수

2STEP 2

24 개의 순서 있는 수 대신 {1,2,3,4} 의 확률이 같은 세 숫자 묶음 4 개를 세면, 확률은 (좋은 묶음 수)/4 입니다.

P(3의 배수) = (좋은 부분집합 수)/4

3STEP 3

각 합을 구하면 {1,2,3}=6, {2,3,4}=9 는 3 의 배수, {1,2,4}=7, {1,3,4}=8 은 아니라 두 묶음이 좋습니다.

{1,2,3}: 6 ✓ {1,2,4}: 7 × {1,3,4}: 8 × {2,3,4}: 9 ✓

4STEP 4

네 묶음 중 두 개가 통과하므로 확률은 $\frac{2}{4}$ = $\frac{1}{2}$ , 정답은 (C) 입니다.

P =

\frac{2}{4}

\frac{1}{2}

→ (C)

정답

\frac{1}{2}

순서 있는 수로 직접 세어 교차 검증해 봅시다. 전체 세 자리 수: 4 × 3 × 2 = 24. 좋은 부분집합은 {1,2,3} 과 {2,3,4} 둘이고 각각 3! = 6 가지 배열을 주므로, 좋은 수는 6 + 6 = 12. 확률은

\frac{12}{24}

\frac{1}{2}

로 (C) 와 일치합니다. 두 셈법이 같은 답을 주는 것은 "부분집합으로 바꿔 세도 된다" 는 점이 정확함을 확인해 줍니다. 결과

\frac{1}{2}

도 자연스럽습니다 — 가능한 세 자리 합 {6, 7, 8, 9} 중 정확히 두 개가 3 의 배수이기 때문이고, 일반적인

\frac{1}{3}

밀도보다 살짝 높은 것은 숫자 1, 2, 3, 4 가 3 근처에 몰려 있어서입니다.

💡핵심 정리

3 의 배수 판정은 자리 숫자 합만 보므로, {1,2,3,4} 에서 만들 수 있는 세 자리 수 24 개가 아니라 세 숫자 묶음 네 개만 세면 됩니다. 합이 6 과 9 인 두 묶음이 통과하므로 확률은 $\frac{1}{2}$ .

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