AMC 8 · 2007 · #25

학년 7 probabilitygeometry-2d

유형 Geometric Probability by Area └ 세부 유형 Area-Proportional Region Probability

probability-basicarea-circlesfraction-arithmeticparity caseworkidentify-subproblems ↑ 선수 지식: area-circlesprobability-basicparity

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

다트판은 반지름 6 인 바깥 원과 반지름 3 인 안쪽 원으로 이루어져 있습니다. 세 개의 반지름이 각 원을 합동인 세 영역으로 나누고, 각 영역에는 점수 1 또는 2 가 적혀 있습니다. 안쪽 원에는 1, 2, 2 (1 하나, 2 둘), 바깥 링에는 2, 1, 1 (2 하나, 1 둘) 이 적혀 있습니다. 다트가 어떤 영역에 맞을 확률은 그 영역의 넓이에 비례합니다. 다트를 독립적으로 두 번 던질 때, 두 점수의 합이 홀수일 확률을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{17}{36}$

(B)

$\frac{35}{72}$

(C)

$\frac{1}{2}$

(D)

$\frac{37}{72}$

(E)

$\frac{19}{36}$

AMC 8 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

두 다트 확률은 한 번에 풀기 부담스럽지만 작은 문제들로 깔끔하게 쪼개집니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 (1) 각 영역의 넓이 구하기 → (2) 단일 다트의 P(홀), P(짝) 구하기 → (3) 두 다트 결합 의 세 단계로 나눕니다. 도구 #1(그림 그리기)은 여섯 영역과 점수를 헷갈리지 않게 정리해 주고 — 안쪽 영역과 바깥 링 영역의 넓이가 다르기 때문에 1 과 2 가 같은 확률로 나오지 않는다는 점을 보여 줍니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)는 (3) 단계에서 두 다트의 홀·짝 조합(OO, OE, EO, EE) 네 가지 중 합이 홀수인 두 가지를 골라내는 데 사용합니다.

1STEP 1

다트판을 그리면 안쪽 영역은 넓이 3π, 바깥 링 영역은 넓이 9π 로 세 배 큽니다.

A_바깥 원 = 36π, A_안쪽 원 = 9π, A_링 = 27π, A_안쪽 영역 = 3π, A_링 영역 = 9π

2STEP 2

점수 1 인 영역을 모두 더하면 21π/36π, 즉 P(홀) = $\frac{7}{12}$ .

P(홀) = 21π/36π =

\frac{21}{36}

\frac{7}{12}

3STEP 3

점수 2 인 영역을 더하면 15π, 즉 P(짝) = $\frac{5}{12}$ . 검산: P(홀) + P(짝) = 1.

P(짝) = (6π + 9π)/36π =

\frac{15}{36}

\frac{5}{12}

4STEP 4

네 가지 홀·짝 조합 OO, OE, EO, EE 중 딱 하나만 홀수인 서로 다른 두 경우만 합이 홀수입니다.

합이 홀 ⇔ 두 점수 중 하나만 홀수

5STEP 5

각 경우는 곱하고 두 경우를 더하면 2 · ( $\frac{7}{12}$ )( $\frac{5}{12}$ ) = $\frac{35}{72}$ , 정답 (B).

P(합이 홀) = P(홀) P(짝) + P(짝) P(홀) = 2 ·

\frac{7}{12}

\frac{5}{12}

\frac{70}{144}

\frac{35}{72}

→ (B)

정답

\frac{35}{72}

답

\frac{35}{72}

≈ 0.486 은

\frac{1}{2}

보다 살짝 작습니다. 단일 다트에서 홀(

\frac{7}{12}

)이 짝(

\frac{5}{12}

)보다 잘 나오는 약간 "기울어진 동전" 이므로, 같은 결과(둘 다 홀, 또는 둘 다 짝)가 다른 결과보다 약간 더 잦아 합이 짝수일 확률이 살짝 더 큰 게 자연스럽습니다. 여집합 검산: P(합이 짝) = P(홀)² + P(짝)² =

\frac{49}{144}

\frac{25}{144}

\frac{74}{144}

\frac{37}{72}

, 그리고

\frac{35}{72}

\frac{37}{72}

\frac{72}{72}

= 1. 선택지 (C)

\frac{1}{2}

는 단일 다트에서 홀·짝이 같은 확률일 때만 가능하지만 여기서는

\frac{7}{12}

≠

\frac{5}{12}

이므로 답이 될 수 없습니다.

💡핵심 정리

겁나는 두 다트 확률도 세 개의 작은 문제로 쪼개면 됩니다 — 각 영역 넓이, 한 번 던질 때의 P(홀) 과 P(짝), 그리고 네 가지 홀·짝 조합. 합이 홀인 두 경우만 더하면 답은 $\frac{35}{72}$ .

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