AMC 8 · 2007 · #8

학년 6 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

area-trianglesarea-rectangles identify-subproblems ↑ 선수 지식: area-rectanglesarea-triangles

📏 짧은 풀이 💡 1 개 인사이트 📊 도형

문제

사다리꼴 ABCD 에서 AD ⊥ DC 이고 AD = AB = 3, DC = 6 입니다. 점 E 는 DC 위에 있고 BE ∥ AD 입니다. △ BEC 의 넓이를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

4.5

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

도구 #1(그림 그리기)이 핵심입니다. 그림에 표시를 더해 보면 AD ⊥ DC 이고 BE ∥ AD 이므로, 사각형 ABED 는 두 쌍의 마주보는 변이 평행하고 한 각이 직각인 도형, 즉 직사각형이 됩니다. 더구나 AD = AB = 3 이므로 ABED 는 한 변이 3 인 정사각형이에요. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 사다리꼴을 정사각형 ABED 와 직각삼각형 BEC 로 나누면, 삼각형의 두 변(BE 와 EC) 길이가 그림에서 그대로 읽힙니다. 대수는 필요 없어요.

1STEP 1

ABED 는 AB ∥ DE, AD ∥ BE, D 의 직각, AD = AB = 3 이므로 한 변 3 인 정사각형입니다.

ABED 는 한 변이 3 인 정사각형

2STEP 2

ABED 가 정사각형이라 BE = 3, DE = 3 이므로 EC = DC - DE = 6 - 3 = 3 입니다.

EC = DC - DE = 6 - 3 = 3

3STEP 3

△ BEC 는 E 에서 직각이고 두 변이 BE = 3, EC = 3 이라 넓이는 ½ · 3 · 3 = 4.5 → (B).

[△ BEC] =

\frac{1}{2}

· BE · EC =

\frac{1}{2}

· 3 · 3 =

\frac{9}{2}

= 4.5 → (B)

정답

4.5

사다리꼴 넓이를 두 가지 방법으로 검산합니다. 공식: [ABCD] =

\frac{1}{2}

(AB + DC) · AD =

\frac{1}{2}

(3 + 6) · 3 =

\frac{27}{2}

= 13.5. 분할: [정사각형 ABED] + [△ BEC] = 9 + 4.5 = 13.5. 두 값이 일치하므로 △ BEC 의 넓이 4.5 가 맞습니다. 또한 △ BEC 는 사다리꼴의 한 모서리 조각일 뿐이므로 (E) 18 처럼 사다리꼴 전체보다 큰 값은 불가능 — 4.5 는 자연스럽게 사다리꼴 안에 들어옵니다.

💡핵심 정리

사다리꼴의 한 변이 기울어져 있을 때는 윗 꼭짓점에서 수선을 내려 봅니다. 사다리꼴이 직사각형(또는 정사각형)과 직각삼각형으로 쪼개지면, 삼각형의 두 변 길이가 그림에서 곧바로 읽힙니다.

비슷한 유형 더 풀어보기