AMC 8 · 2008 · #10
학년 6 arithmetic mean-median-mode-rangefraction-arithmeticmulti-digit-arithmetic identify-subproblems ↑ 선수 지식: mean-median-mode-rangemulti-digit-arithmetic
📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
A 방에는 6 명이 있고 나이의 평균은 40 입니다. B 방에는 4 명이 있고 나이의 평균은 25 입니다. 두 방의 사람을 모두 합치면 전체 10 명의 평균 나이는 얼마일까요?
답을 골라 클릭하세요.
(A)
32.5
(B)
33
(C)
33.5
(D)
34
(E)
35
AMC 8 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이 과정
전략 구조 바꾸기
단순히 40 과 25 를 평균낸 로 답하면 안 됩니다. 두 방의 인원수가 다르기 때문이죠. 도구 #16(구조 바꾸기)의 아이디어는 평균을 다시 "총합"으로 되돌리는 것입니다. 두 방을 모두 총합으로 표현하고 나면, 합친 방의 평균은 "두 합을 더한 값 ÷ 두 인원수를 더한 값" 으로 깔끔해집니다. 도구 #7(작은 문제로 나누기)로 "각 방의 총합 구하기" 와 "합치기" 두 단계로 쪼개면 계산이 단순해집니다.
1STEP 1
A 방의 총 나이는 평균 × 인원, 곧 40 이 6 명이면 240.
A 방 총합 = 6 × 40 = 240
평균이 40 이라면 A 방 사람 모두가 40 살이라 생각해도 합은 같습니다. 40 살 여섯 명 합치면 240.
6.SP.B.5Identify Subproblems2STEP 2
B 방 총 나이도 같은 방식으로, 25 가 4 명이면 100.
B 방 총합 = 4 × 25 = 100
25 살 네 명을 합치면 100.
6.SP.B.5Identify Subproblems3STEP 3
두 방을 합치면 총 나이는 340, 인원은 10 명.
합친 총합 = 240 + 100 = 340, 합친 인원 = 6 + 4 = 10
두 방을 한 방에 쏟아붓고, 사람도 다 세고 나이도 다 더합니다.
5.NBT.B.5Count The Complement4STEP 4
합친 그룹에 평균 공식을 한 번 더: 340 을 10 으로 나누면 34.
평균 = = 34 → (D)
합 ÷ 인원 = 새 평균. 10 으로 나누는 건 소수점을 한 칸 옮기는 일.
6.SP.B.5Count The Complement정답
34
답 34 는 B 방 평균 25 와 A 방 평균 40 사이에 들어있습니다 — 두 그룹을 합친 평균은 절대로 그 두 평균 범위를 벗어날 수 없습니다. 그리고 34 는 25 보다 40 에 더 가깝습니다. A 방(6 명)이 B 방(4 명)보다 많아서 평균을 40 쪽으로 더 끌어당기기 때문이죠. 간단한 확인: 25 와 40 의 중간은 32.5 이고, 더 큰 그룹이 더 나이가 많으니 답은 32.5 보다 커야 합니다. 실제로 34 ＞ 32.5.
💡핵심 정리
인원수가 다른 두 그룹을 합칠 때는 두 평균만 또 평균내면 안 됩니다. 각 평균을 총합으로 되돌리고, 총합끼리 더한 뒤 새 인원수로 나누세요 — 큰 그룹이 평균을 더 강하게 끌어당깁니다.