AMC 8 · 2008 · #16

학년 6 geometry-3d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Rectilinear Frame / Box Border

volume-rectangular-prismsurface-areaspatial-visualizationratio-proportion systematic-enumerationidentify-subproblems ↑ 선수 지식: volume-rectangular-prismsurface-area

📏 짧은 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

단위 정육면체 7 개를 붙여 만든 모양입니다. 가운데 정육면체 한 개의 여섯 면(위·아래·왼쪽·오른쪽·앞·뒤)에 각각 하나씩 정육면체가 붙어 있습니다. 부피(세제곱 단위)와 겉넓이(제곱 단위)의 비를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

:1 : 6

(B)

: 7 : 36

(C)

: 1 : 5

(D)

: 7 : 30

(E)

: 6 : 25

AMC 8 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 체계적으로 세기

도구 #7(작은 문제로 나누기)로 비를 두 개의 깔끔한 세기 문제로 쪼개요 — 부피 먼저, 그다음 겉넓이. 부피는 정육면체 개수 그대로입니다. 겉넓이는 도구 #13(체계적으로 세기)로 7 개의 정육면체 각각에 대해 "여섯 면 중 몇 개가 바깥으로 드러났는가?"를 묻습니다. 도구 #15(시각화 · 대칭 이용)를 더하면 셈이 거의 자동으로 끝나요 — 중앙 정육면체는 여섯 면 모두 가려지고, 대칭에 의해 바깥쪽 여섯 개는 모두 똑같은 상황입니다 — 붙은 면 1, 드러난 면 5.

1STEP 1

단위 정육면체 7 개의 부피가 각각 1 이므로 전체 부피는 7 세제곱 단위입니다.

V = 7 × 1 = 7

2STEP 2

떨어져 있으면 면이 7 × 6 = 42, 6 개의 붙은 자리가 각각 2 개씩 가려 바깥 면은 30 개입니다.

바깥 면 수 = 7 × 6 - 2 × 6 = 42 - 12 = 30

3STEP 3

대칭으로, 중앙은 0 면, 바깥 6 개는 각각 5 면을 드러내 6 × 5 = 30 으로 같습니다.

S = 0 + 6 × 5 = 30

4STEP 4

부피 대 겉넓이는 7 대 30, gcd(7, 30) = 1 이라 $\frac{7}{30}$ 은 이미 기약분수 → (D).

V : S = 7 : 30 → (D)

정답

: 7 : 30

정육면체 한 개로 검산해 봅시다. 부피 1, 겉넓이 6, 비 1:6 — 선택지 (A). 두 개를 붙이면 부피는 2 로 늘지만 겉면은 6 + 6 - 2 = 10 만큼만 드러나서 비가 커집니다. 새 정육면체를 하나 붙일 때마다 부피는 +1, 겉넓이는 +4 (5 면이 새로 드러나고 1 면이 가려짐). 1:6 에서 시작해 같은 방식으로 6 개를 더 붙이면 부피 1 + 6 = 7, 겉넓이 6 + 6 × 4 = 30 으로 (D) 와 정확히 맞습니다. (A) 1:6 과 (B) 7:36 은 맞붙은 면이 가려진다는 사실을 잊은 답이고, (C) 1:5 는 정육면체 한 개에서 한 면만 가린 값이지 이 모양의 답이 아닙니다.

💡핵심 정리

부피는 정육면체 개수, 겉넓이는 드러난 면 개수 — 두 정육면체가 맞붙으면 단위 정사각형 정확히 2 개가 가려진다는 점만 알면, 3차원 AMC 8 문제도 깔끔한 6 학년 비 문제가 됩니다.

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