AMC 8 · 2008 · #21

학년 8 geometry-3d

유형 Solid Volume by Decomposition └ 세부 유형 Fraction or Difference of a Bounding Solid

volume-cylinderarea-circlesspatial-visualizationline-symmetry identify-subproblems ↑ 선수 지식: volume-cylinderarea-circles

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

길이 6 cm, 지름 8 cm (반지름 4 cm) 의 원기둥 모양 볼로냐 소시지가 있습니다. 제리는 점선으로 표시된 비스듬한 타원을 따라 잘라 냈는데, 그 절단면은 원기둥의 중심축을 그대로 지나갑니다. 잘려 나온 한 조각의 부피(세제곱 센티미터)에 가장 가까운 값을 고르세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

151

(D)

192

(E)

603

AMC 8 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림으로 보기 / 대칭 활용

점선으로 그려진 타원은 복잡해 보이지만, 사실은 원기둥의 중심축을 곧장 지나는 평평한 칼질을 비스듬히 본 모습일 뿐입니다. 도구 #15(그림으로 보기 / 대칭) 로 보면 이 한 번의 칼질이 원기둥을 거울상처럼 똑같은 두 조각으로 나눈다는 걸 알 수 있어요. 그러면 어려운 3차원 문제는 도구 #9(더 쉬운 관련 문제) 로 줄어듭니다 — 원기둥 전체 부피를 구하고 반으로 나누면 끝.

1STEP 1

가로 8 cm 는 지름이므로 r = 4 cm, 길이 방향 표시는 h = 6 cm 입니다.

r = 4 cm, h = 6 cm

2STEP 2

절단면은 중심축을 지나는 평평한 평면이라 두 조각은 거울상으로 합동이며, 한 조각은 정확히 절반입니다.

V_조각 =

\frac{1}{2}

V_원기둥

3STEP 3

원기둥 부피는 V = π r² h = π · 16 · 6 = 96π cm³ 입니다.

V_원기둥 = π (4)² (6) = π · 16 · 6 = 96π cm³

4STEP 4

절반이 조각의 부피: 48π ≈ 150.8 cm³, 선택지 (C) 에 가장 가깝습니다.

V_조각 =

\frac{1}{2}

(96π) = 48π ≈ 48 × 3.14159 ≈ 150.8 cm³ → (C) 151

정답

151

크기를 점검합니다. 원기둥 전체는 96π ≈ 301.6 cm³ 이므로 절반은 약 150.8 cm³ 입니다. 이 값은 (B) 75 와 (D) 192 사이에 있고 (C) 151 과 거의 일치합니다. (A) 48 은 π 를 빼먹은 값, (D) 192 는 조각 대신 두 배를 잘못 잡은 값, (E) 603 은 원기둥 전체의 두 배입니다. "96π 의 절반" 과 맞는 선택지는 (C) 뿐입니다.

💡핵심 정리

둥근 도형의 한가운데를 곧장 자르면 두 조각이 똑같아요 — 그래서 이 AMC 8 문제는 결국 "π r² h 의 절반" 을 묻는 문제입니다.

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