경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2008 · #21
학년 8 geometry-3d
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AMC 8 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
점선으로 그려진 타원은 복잡해 보이지만, 사실은 원기둥의 중심축을 곧장 지나는 평평한 칼질을 비스듬히 본 모습일 뿐입니다. 도구 #15(그림으로 보기 / 대칭)로 보면 이 한 번의 칼질이 원기둥을 거울상처럼 똑같은 두 조각으로 나눈다는 걸 알 수 있어요. 그러면 어려운 3차원 문제는 도구 #9(더 쉬운 관련 문제)로 줄어듭니다 — 원기둥 전체 부피를 구하고 반으로 나누면 끝.
그림에서 치수 읽기
가로 8 cm 는 지름이므로 r = 4 cm, 길이 방향 표시는 h = 6 cm 입니다.
7학년 기하: 공식에 넣기 전에 그림 속 입체에서 반지름과 높이를 정확히 읽어 내기.
7.G.B.6Organize Information In More Ways반으로 나뉜 대칭 알아보기
절단면은 중심축을 지나는 평평한 평면이라 두 조각은 거울상으로 합동이며, 한 조각은 정확히 절반입니다.
8학년 강체 변환 사고: 절단면을 기준으로 한 반사가 한 조각을 다른 조각으로 옮기므로 두 부피가 같습니다.
쐐기 한 조각은 원기둥 전체 부피의 정확히 절반이다.
▸ 왜?
평평한 절단면이 원기둥의 중심선을 지나면서 원기둥을 딱 두 개의 쐐기로 나누고, 그 두 쐐기의 부피는 서로 같다.
▸ 왜?
원기둥을 절단면 기준으로 접으면 한 쐐기가 다른 쐐기 위에 정확히 포개지고, 접기는 도형을 늘이거나 줄이지 않는 뒤집기이므로 두 쐐기는 크기가 같다.
▸ 왜?
그 접기가 원기둥을 정말로 자기 자신 위에 다시 포개는 이유는, 둥근 면이 중심을 지나는 어떤 선의 양쪽에서도 똑같아 보이기 때문이다 — 그 면의 모든 점이 중심에서 같은 거리에 있다.
▸ 왜?
두 쐐기는 빈틈도 겹침도 없이 함께 원기둥 전체를 채우므로 그 부피들을 더하면 다시 전체가 되고, 전체를 이루는 똑같은 두 부분은 각각 그 절반이다.
원기둥 부피 구하기
원기둥 부피는 V = π r² h = π · 16 · 6 = 96π cm³입니다.
8학년 "원기둥의 부피" 는 밑면 원의 넓이 곱하기 길이입니다.
8.G.C.9Solve An Easier Related Problem절반 구해 어림하기
절반이 조각의 부피: 48π ≈ 150.8 cm³, 선택지 (C)에 가장 가깝습니다.
7학년 "원의 둘레와 넓이 공식" 단원에서 배운 π ≈ 3.14로 수치 어림하기.
7.G.B.4Solve An Easier Related Problem둥근 도형의 한가운데를 곧장 자르면 두 조각이 똑같아요 — 그래서 이 AMC 8 문제는 결국 "π r² h 의 절반" 을 묻는 문제입니다.
- 그림에서 치수 읽기
- 반으로 나뉜 대칭 알아보기
- 원기둥 부피 구하기
- 절반 구해 어림하기
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