AMC 8 · 2008 · #22

학년 6 number-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination

divisibility-rulesmultiplesinterval-arithmeticsequences-arithmetic bound-inequality-then-enumerateidentify-subproblems ↑ 선수 지식: divisibility-rulesmulti-digit-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

\frac{n}{3}

과 3n 이 모두 세 자리 자연수가 되는 양의 정수 n 은 몇 개일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 나누기

같은 n 에 두 조건이 겹쳐 있으니, 도구 #7(작은 문제로 나누기)이 자연스럽습니다 — 조건 하나씩 따로 처리한 다음 합치는 거죠. 조건 1( $\frac{n}{3}$ 이 세 자리 자연수)은 n 의 범위 한 개와 "n 이 3 의 배수" 라는 규칙을 줍니다. 조건 2(3n 이 세 자리 자연수)는 n 의 또 다른 범위를 줍니다. 두 범위를 겹친 뒤, 도구 #13(세는 방법 정리하기)으로 그 구간 안의 3 의 배수를 셉니다.

1STEP 1

조건 1 을 범위로 바꿉니다: 100 ≤ $\frac{n}{3}$ ≤ 999, 각 변에 3 을 곱하면 300 ≤ n ≤ 2997.

100 ≤

\frac{n}{3}

≤ 999 → 300 ≤ n ≤ 2997

2STEP 2

같은 조건은 $\frac{n}{3}$ 을 자연수로도 만들므로, n 은 3 의 배수여야 합니다.

n = 3k (k 는 양의 정수)

3STEP 3

조건 2 를 범위로 바꿉니다: 100 ≤ 3n ≤ 999, 각 변을 3 으로 나누면 34 ≤ n ≤ 333.

100 ≤ 3n ≤ 999 →

\frac{100}{3}

≤ n ≤ 333 → 34 ≤ n ≤ 333

4STEP 4

두 범위를 겹칩니다: 300 ≤ n ≤ 2997 과 34 ≤ n ≤ 333 의 공통 부분은 300 ≤ n ≤ 333.

300 ≤ n ≤ 333

5STEP 5

[300, 333] 안의 3 의 배수를 셉니다: (333 - 300)/3 + 1 = 12.

\frac{333 - 300}{3}

+ 1 =

\frac{33}{3}

+ 1 = 11 + 1 = 12 → (A)

정답

양 끝값을 확인해 봅시다. n = 300 일 때:

\frac{n}{3}

= 100 (세 자리 수 중 가장 작음), 3n = 900 (여전히 세 자리). n = 333 일 때:

\frac{n}{3}

= 111 (여전히 세 자리), 3n = 999 (세 자리 수 중 가장 큼). 양 끝이 모두 통과하므로 구간 [300, 333] 이 정확히 맞고, 그 안의 3 의 배수 12 개가 모두 답이 됩니다.

💡핵심 정리

같은 n 에 규칙이 두 개? 규칙마다 범위를 따로 만들고, 둘 다 통과하는 n 만 남기세요 — 분수 조건이 주는 배수 규칙도 잊지 말고요. 그러면 이 AMC 8 문제는 300 부터 333 까지의 3 의 배수를 세는 일로 줄어듭니다.

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