경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2008 · #22

학년 6 number-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination

divisibility-rulesmultiplesinterval-arithmeticsequences-arithmetic bound-inequality-then-enumerateidentify-subproblems ↑ 선수 지식: divisibility-rulesmulti-digit-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

\frac{n}{3}

과 3n 이 모두 세 자리 자연수가 되는 양의 정수 n 은 몇 개일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 나누기

같은 n 에 두 조건이 겹쳐 있으니, 도구 #7(작은 문제로 나누기)이 자연스럽습니다 — 조건 하나씩 따로 처리한 다음 합치는 거죠. 조건 1(n/3이 세 자리 자연수)은 n 의 범위 한 개와 "n 이 3의 배수" 라는 규칙을 줍니다. 조건 2(3n 이 세 자리 자연수)는 n 의 또 다른 범위를 줍니다. 두 범위를 겹친 뒤, 도구 #13(세는 방법 정리하기)으로 그 구간 안의 3의 배수를 셉니다.

1STEP 1

첫 조건으로 범위 정하기

조건 1을 범위로 바꿉니다: 100 ≤ $\frac{n}{3}$ ≤ 999, 각 변에 3을 곱하면 300 ≤ n ≤ 2997.

100 ≤ n/3 ≤ 999 → 300 ≤ n ≤ 2997

2STEP 2

3의 배수 조건 확인하기

같은 조건은 $\frac{n}{3}$ 을 자연수로도 만들므로, n 은 3의 배수여야 합니다.

n = 3k (k 는 양의 정수)

3STEP 3

둘째 조건으로 범위 정하기

조건 2를 범위로 바꿉니다: 100 ≤ 3n ≤ 999, 각 변을 3으로 나누면 34 ≤ n ≤ 333.

100 ≤ 3n ≤ 999 → 100/3 ≤ n ≤ 333 → 34 ≤ n ≤ 333

4STEP 4

두 범위 겹치기

두 범위를 겹칩니다: 300 ≤ n ≤ 2997과 34 ≤ n ≤ 333의 공통 부분은 300 ≤ n ≤ 333.

300 ≤ n ≤ 333

5STEP 5

3의 배수 개수 세기

[300, 333] 안의 3의 배수를 셉니다: (333 - 300)/3 + 1 = 12.

(333 - 300)/3 + 1 = 33/3 + 1 = 11 + 1 = 12 → (A)

일정 간격으로 늘어선 수를 세는 것은 4학년 "규칙이 있는 수 배열" 개념: 이 구간 안에 3의 배수가 12 개 들어갑니다.

300부터 333까지의 3의 배수의 개수는 333 - 300을 계산해 간격 3으로 나눈 뒤 1을 더해서 구한다.

▸ 왜?

이렇게 일정한 간격으로 놓인 배수를 세는 것은 처음부터 끝까지 3씩 몇 번 뛰는지를 세는 것과 같고, 그 뛴 횟수는 (333 - 300) ÷ 3이다. +1이 붙는 까닭은 뒤에 이어지는 뜀뿐 아니라 맨 처음 배수도 함께 세야 하기 때문이다.

▸ 왜?

이 구간의 모든 3의 배수는 300에 3씩 뛴 횟수(정수)를 더한 값이고, 각 배수를 자기 뜀 횟수와 짝지으면 배수들이 0, 1, 2처럼 이어지는 정수들과 일대일로 대응한다.

▸ 왜?

300은 그 자체로 3의 배수이고, 여기서 3을 거듭 더하면 바로 다음 배수에 차례로 닿는데, 3을 모두 k번 더한 것은 곧 3 곱하기 k이므로 그 배수는 정확히 300 + 3k이다.

곱셈은 같은 크기 묶음a 곱하기 b는 b가 든 같은 묶음 a개 — 같은 양을 반복해서 더하는 것이다.

▸ 왜?

각 배수는 정확히 하나의 뜀 횟수와, 각 뜀 횟수는 정확히 하나의 배수와 짝을 이루는 완전한 일대일 대응이므로, 배수를 세는 것은 뜀 횟수를 세는 것과 같다.

일대일 대응여기 있는 것 하나가 저기 있는 것 하나와 딱 짝지어지면 두 무리의 크기는 같다.

▸ 왜?

0에서 시작해 가장 큰 뜀 횟수에서 끝나는 정수의 나열은 그 가장 큰 값보다 하나 더 많은 수를 담는데, 0, 1, 2부터 맨 위까지의 이름표를 1, 2, 3부터 맨 위보다 하나 큰 값까지로 바꾸면 끝점을 하나도 빠뜨리지 않는 보통의 세기와 일대일로 짝지어지기 때문이다.

일대일 대응여기 있는 것 하나가 저기 있는 것 하나와 딱 짝지어지면 두 무리의 크기는 같다.

4.OA.C.5Convert To Algebra

정답

양 끝값을 확인해 봅시다. n = 300 일 때:

\frac{n}{3}

= 100 (세 자리 수 중 가장 작음), 3n = 900 (여전히 세 자리). n = 333 일 때:

\frac{n}{3}

= 111 (여전히 세 자리), 3n = 999 (세 자리 수 중 가장 큼). 양 끝이 모두 통과하므로 구간 [300, 333]이 정확히 맞고, 그 안의 3의 배수 12 개가 모두 답이 됩니다.

💡핵심 정리

같은 n 에 규칙이 두 개? 규칙마다 범위를 따로 만들고, 둘 다 통과하는 n 만 남기세요 — 분수 조건이 주는 배수 규칙도 잊지 말고요. 그러면 이 AMC 8 문제는 300부터 333 까지의 3의 배수를 세는 일로 줄어듭니다.

첫 조건으로 범위 정하기
3의 배수 조건 확인하기
둘째 조건으로 범위 정하기
두 범위 겹치기
3의 배수 개수 세기

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첫 조건으로 범위 정하기

3의 배수 조건 확인하기

둘째 조건으로 범위 정하기

두 범위 겹치기

3의 배수 개수 세기

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