경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2015 · #20

학년 6 algebraarithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination

linear-diophantinesystems-of-equationssystematic-enumeration systematic-enumerationconvert-to-algebrabound-inequality-then-enumerate ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticlinear-equations-one-var

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

랄프는 양말 12 켤레를 사서 총 24 를 냈습니다. 한 켤레 가격은 1, 3, 4 중 하나이고, 세 가격 모두 적어도 한 켤레씩 샀습니다. 1 짜리 양말은 몇 켤레 샀을까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2015 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

가격은 세 가지뿐이고 총 켤레 수도 12로 작아서 후보가 많지 않습니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 4 켤레 수를 순서대로 늘려가며 가능한 (y, z)만 추려내면 됩니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)는 지름길을 줍니다 — 모든 12 켤레가 1 라면 총액은 12에 불과하므로, 비싼 양말로 바꿔서 12의 "추가 비용" 을 만들어 줘야 합니다. 도구 #3(가능성 지우기)은 안전망입니다 — 선택지 A~E가 1 켤레 수를 직접 주므로, 필요하면 후보를 하나씩 대입해 확인할 수 있습니다.

1STEP 1

더 필요한 금액 구하기

12켤레가 모두 1이면 12인데 실제는 24 — 비싼 양말이 12의 추가 비용을 더해야 합니다.

12 × 1 = 12, 24 - 12 = 12 달러의 추가 비용 필요

2STEP 2

비싼 양말의 추가 금액 쓰기

3짜리는 기준보다 2, 4짜리는 3 더 비싸므로, 개수를 y·z라 하면 추가 비용 식은 2y + 3z = 12.

(3-1)=2 y + (4-1)=3 z = 12 → 2y + 3z = 12

3STEP 3

가능한 개수 짝 모두 적기

2y + 3z = 12에서 z = 1, 2, 3, …을 넣어 y가 양의 정수인 경우만 남기면 z = 2, y = 3뿐입니다.

z & 2y = 12 - 3z & y ; 1 & 9 & 4.5 (탈락: 정수 아님) ; 2 & 6 & 3 (채택) ; 3 & 3 & 1.5 (탈락: 정수 아님) ; 4 & 0 & 0 (탈락: z ≥ 1, y ≥ 1 위반)

z 를 작은 값부터 정해 두면 빠뜨리거나 중복 없이 모든 경우를 보게 됩니다 — 도구 #2의 핵심이 바로 그것입니다.

더 비싼 짝들이 추가 비용 12를 정확히 채우면서 3짜리 짝과 4짜리 짝을 각각 최소 하나씩 쓰는 방법은 오직 3짜리 세 짝과 4짜리 두 짝뿐이다.

▸ 왜?

3짜리 짝은 추가로 2, 4짜리 짝은 추가로 3를 더하고, 이 둘이 함께 추가 비용 12 전체를 채워야 하므로 개수는 2y + 3z = 12를 만족한다.

▸ 왜?

추가된 12는 3짜리 짝들의 몫과 4짜리 짝들의 몫 말고는 나올 곳이 없으므로, 그 두 몫을 더하면 다시 12 전체가 된다.

전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.

▸ 왜?

4짜리 짝은 1 기준보다 3 위에 있고, 그런 짝 z개는 저마다 같은 3씩 더하므로 함께 3의 z묶음을 이룬다.

곱셈은 같은 크기 묶음a 곱하기 b는 b가 든 같은 묶음 a개 — 같은 양을 반복해서 더하는 것이다.

▸ 왜?

4짜리 짝의 수 z를 정하고 나면 3짜리 짝의 수는 y = (12 - 3z) / 2로 정해지는데, 이것이 추가 비용을 12로 유지하는 유일한 값이다.

▸ 왜?

2y = 12 - 3z에서 y를 다시 얻으려면 두 배 한 것을 반으로 나눠 되돌려야 하고, 그러면 y가 딱 하나 남는다.

역연산뺄셈은 덧셈을, 나눗셈은 곱셈을 되돌린다 — 서로를 거꾸로 한다.

▸ 왜?

그래서 z = 1, 2, 3, 4만 확인하면 되고, 이 중 3짜리 짝의 수가 1 이상의 정수로 남는 경우는 z = 2일 때, 즉 y = 3뿐이다.

▸ 왜?

z는 실제 짝의 수라서 1 이상의 정수이고, 그 몫 3z는 추가 비용 12의 일부일 뿐이라 12를 넘을 수 없으므로 z는 최대 4이다.

전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.

▸ 왜?

z = 1과 z = 3에서는 정해지는 y가 절반짜리로 나와 실제 짝을 셀 수 없고, z = 4에서는 0이 되어 '3짜리 짝 최소 하나' 규칙을 어기므로 z = 2만 살아남는다.

곱셈은 같은 크기 묶음a 곱하기 b는 b가 든 같은 묶음 a개 — 같은 양을 반복해서 더하는 것이다.

4.OA.A.3Make A Systematic List

4STEP 4

가장 싼 양말 개수 구하기

y = 3, z = 2이므로 총 켤레 식 x + y + z = 12에서 x = 12 - 3 - 2 = 7.

x + y + z = 12 → x = 12 - 3 - 2 = 7

5STEP 5

개수와 금액 확인하기

원래 조건으로 확인: 7 + 3 + 2 = 12켤레, 7×1 + 3×3 + 2×4 = 24, 각 가격 사용 — (D)와 일치.

켤레 수: 7 + 3 + 2 = 12 ✓ 금액: 7(1) + 3(3) + 2(4) = 7 + 9 + 8 = 24 ✓ 각 가격 ≥ 1 켤레: 7, 3, 2 ≥ 1 ✓ → (D) 7

정답

한 켤레 평균 가격은 24 ÷ 12 = 2로 가장 싼 1에 가깝고 4 와는 멉니다. 즉 싼 양말이 가장 많아야 한다는 뜻이라, 1 켤레 수가 셋 중 최대여야 합니다 — 선택지 중 (C) 6, (D) 7, (E) 8만 그럴듯하고, 그 가운데 (D) 7이 우리의 계산과 정확히 맞습니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 우리 도구함으로 풀 수 있어요 — 6학년 문장제·식 만들기 한 번에 작은 경우 나열만 더하면 답이 나옵니다.

더 필요한 금액 구하기
비싼 양말의 추가 금액 쓰기
가능한 개수 짝 모두 적기
가장 싼 양말 개수 구하기
개수와 금액 확인하기

가족의 부모 대시보드는 sensimlab.com에 있습니다.

더 필요한 금액 구하기

비싼 양말의 추가 금액 쓰기

가능한 개수 짝 모두 적기

가장 싼 양말 개수 구하기

개수와 금액 확인하기

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