경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2023 · #20

학년 6 arithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination

mean-median-mode-rangeoptimization-countingsystematic-enumeration caseworksystematic-enumerationbound-inequality-then-enumerate ↑ 선수 지식: mean-median-mode-rangemental-arithmetic

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

리스트 3, 3, 8, 11, 28 에 정수 두 개를 추가해서 새로운 7 개 짜리 리스트의 범위가 원래의 두 배가 되도록 만들되, 최빈값과 중앙값은 그대로 유지해야 합니다. 이렇게 가능한 모든 경우 중에서 추가된 두 정수의 합이 가장 클 때 그 값은 얼마일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

새 범위 50이 만들어지는 방법은 세 가지뿐입니다. (1) 원래의 3이 최솟값으로 남고 새 y 가 최댓값이 되거나, (2) 원래의 28이 최댓값으로 남고 새 x 가 최솟값이 되거나, (3) 양쪽 끝이 모두 새 수가 되는 경우. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 세 경우를 빠짐없이 적은 뒤 각각 따로 풀고 합을 비교합니다. 각 경우 안에서는 중앙값·최빈값 조건이 x, y 를 좁은 정수 구간으로 압축해 주고, 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 그 구간의 양 끝 정수를 골라 합을 최대로 만듭니다. 마지막에 도구 #3(가능성 지우기)으로 다섯 선택지 중 답이 정말 있는지 확인합니다.

1STEP 1

세 통계값 읽기

정렬된 3,3,8,11,28은 범위 25, 최빈값 3, 중앙값 8 — 지켜야 할 세 값이에요.

범위=28-3=25, 최빈값=3, 중앙값=8

2STEP 2

조건으로 x와 y 범위 좁히기

중앙값 조건은 x ≤ 8 ≤ y, 최빈값 조건은 8·11·28과 중복 금지 — 합치면 x ＜ 8 ＜ y.

x ≤ 8, y ≥ 8; x ≠ 8, y ≠ 8,11,28; x ≠ y → x ＜ 8 ＜ y

3STEP 3

범위에 따라 경우 나누기

새 범위 50을 만드는 방법은 셋 — 최솟값 3 유지, 최댓값 28 유지, 양끝 모두 새 수. 세 경우예요.

경우 1: min=3, max=y; 경우 2: min=x, max=28; 경우 3: min=x, max=y

4STEP 4

첫 번째 경우 따지기

경우 1: 최솟값 3 유지 → y=53; x 는 8 미만 최대 7 → 7+53=60.

y=53, x_max=7 → x+y=7+53=60

5STEP 5

두 번째 경우 따지기

경우 2: 최댓값 28 유지 → x=-22; y 는 최대 27 → -22+27=5, 경우 1 보다 훨씬 작음.

x=-22, y_max=27 → x+y=-22+27=5

6STEP 6

세 번째 경우 따지기

경우 3: 양끝 모두 새 수, x ＜ 3, y=x+50; 최대 x=2 → y=52, 2+52=54.

x_max=2, y=x+50=52 → x+y=2+52=54

7STEP 7

가장 큰 합 고르기

60, 5, 54를 비교 — 경우 1의 60 이 최대, 선택지 (D).

max(60, 5, 54)=60 → (D)

정답

우승 리스트 {3,3,7,8,11,28,53}을 다시 검증합니다 — 범위 =53-3=50 (원래 25의 두 배, 통과), 4 번째 항 =8 이므로 중앙값 변동 없음, 3이 두 번 등장하고 다른 모든 수는 한 번씩만 등장하므로 최빈값은 여전히 3. 합 7+53=60은 선택지 (D)와 정확히 일치합니다. 다른 선택지 56,57,58,61이 되려면 y ≠ 53 (범위 조건 깨짐) 이거나 x ＞ 7 즉 x=8 이어야 하는데, x=8은 {3,3,8,8,11,28,53}으로 만들어 최빈값이 두 개가 되어 버립니다. 결국 (D)만 모든 조건을 만족합니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 통계(범위·최빈값·중앙값)와 약간의 부등식 추론만 알면 풀 수 있어요!

세 통계값 읽기
조건으로 x와 y 범위 좁히기
범위에 따라 경우 나누기
첫 번째 경우 따지기
두 번째 경우 따지기
세 번째 경우 따지기
가장 큰 합 고르기

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