AMC 8 · 2008 · #24

학년 8 counting

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Complement by Subtracting Forbidden Arrangements

probability-basicperfect-squaressystematic-enumerationfraction-arithmetic caseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: probability-basicperfect-squares

📏 짧은 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

1 부터 10 까지 번호가 적힌 타일 10 장이 뒤집어져 있습니다. 한 장을 무작위로 뒤집고 주사위를 한 번 굴립니다. (타일 번호) × (주사위 눈)이 완전제곱수가 될 확률은 얼마일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{10}$

(B)

$\frac{1}{6}$

(C)

$\frac{11}{60}$

(D)

$\frac{1}{5}$

(E)

$\frac{7}{30}$

AMC 8 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 꼼꼼히 세기

유한하고 동등한 표본공간에서 확률은 $\frac{성공}{전체}$ 이므로 결국 "세기" 문제예요 — 도구 #13의 자리입니다. 전체 10 × 6 = 60 은 바로 보이지만, 성공 쌍의 개수는 도구 #7로 타일별로 나눠 풀어요: 타일 T 를 고정하고 {1, …, 6} 중 어떤 D 가 T · D 를 완전제곱수로 만드는지 봅니다. T 의 "제곱이 아닌 부분"을 보면 가능한 D 가 한눈에 정해집니다.

1STEP 1

타일 10 가지, 주사위 6 가지이고 서로 독립이라 표본공간은 10 × 6 = 60 개의 동등한 쌍이에요.

전체 쌍의 수 = 10 × 6 = 60

2STEP 2

T = s · k² 로 쓰면 T · D 가 완전제곱수인 건 D 가 같은 제곱이 아닌 부분 s 를 가질 때뿐이에요.

T = s · k², D = s · m² ⟹ T · D = s² · (km)² = (skm)²

3STEP 3

타일을 하나씩: 각 T 의 제곱이 아닌 부분 s 를 구한 뒤 {1, …, 6} 중 s · m² 꼴인 D 를 모두 적어요.

T & s & 가능한 D ; 1 & 1 & 1, 4 ; 2 & 2 & 2 ; 3 & 3 & 3 ; 4 & 1 & 1, 4 ; 5 & 5 & 5 ; 6 & 6 & 6 ; 7 & 7 & 없음 ; 8 & 2 & 2 ; 9 & 1 & 1, 4 ; 10 & 10 & 없음

4STEP 4

성공 쌍을 모으면 11 개의 (T, D) 쌍이라 확률은 $\frac{11}{60}$ 이에요.

P =

\frac{11}{60}

→ (C)

정답

\frac{11}{60}

몇 쌍만 직접 확인해 봐요: 1 · 4 = 4 = 2² (성공), 8 · 2 = 16 = 4² (성공), 9 · 4 = 36 = 6² (성공). 타일 7 과 10 의 제곱이 아닌 부분은 각각 7, 10 으로 6 보다 크니까 어떤 주사위 눈도 못 막아요 — 표의 "없음" 칸과 일치합니다. 또

\frac{11}{60}

≈ 0.183 이므로 선택지 (B)

\frac{1}{6}

≈ 0.167 과 (D)

\frac{1}{5}

= 0.20 사이예요. 정확히 11 개를 표현하는 분수는 (C) 뿐입니다.

💡핵심 정리

어림하지 말고 빠짐없이 세요. 타일을 하나씩 잡고 주사위 눈 중 어떤 것이 곱을 완전제곱수로 만드는지 확인해 표시합니다. 60 개 쌍 중 성공 11 개라서 $\frac{11}{60}$ 이에요.

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