경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2008 · #25

학년 7 geometry-2d
유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Nested Frame / Concentric Difference
area-circlesfraction-arithmeticpercentagepattern-recognition area-differenceidentify-subproblems ↑ 선수 지식: area-circlespercentage
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형
문제
여섯 개의 원으로 만든 과녁 모양 디자인입니다. 가장 작은 원의 반지름은 2 인치이고, 다음 원마다 반지름이 2 인치씩 커집니다. 색은 검정·흰색이 번갈아 나오고, 가장 바깥쪽 고리는 흰색입니다. 디자인 전체에서 검은색이 차지하는 비율(%)은 얼마이고, 선택지 중 가장 가까운 값은 무엇인가요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)
42
(B)
44
(C)
45
(D)
46
(E)
48

AMC 8 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기

검은 부분은 하나의 도형이 아니라 가장 안쪽 원판 한 개와 검은 고리 두 개로 나뉘어 있어요. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 각 검은 조각의 넓이를 따로 구한 뒤 더하면 됩니다. 도구 #15(시각화하기)는 그림 읽기에 씁니다. 바깥부터 안쪽으로 색을 따라가면 흰·검·흰·검·흰·검 순서이고, 그래야 어떤 반지름들이 어떤 검은 영역의 경계인지 정확히 잡힙니다. 검은 넓이와 전체 넓이를 손에 쥐면 비율은 나눗셈 한 번.

1STEP 1

원 여섯 개 넓이 구하기

여섯 반지름 2, 4, 6, 8, 10, 12 을 A = π r²로 제곱해 원판 넓이를 구합니다.

A₁=4π, A₂=16π, A₃=36π, A₄=64π, A₅=100π, A₆=144π
2STEP 2

검은 부분 찾기

바깥부터 색이 흰·검·흰·검·흰·검 으로 번갈아, 검은 부분은 안쪽 원판 하나와 고리 두 개입니다.

검정 = (A₅ - A₄) + (A₃ - A₂) + A₁
3STEP 3

검은 넓이 더하기

검은 세 조각을 더합니다: (100π - 64π) + (36π - 16π) + 4π = 60π.

(100π - 64π) + (36π - 16π) + 4π = 36π + 20π + 4π = 60π
4STEP 4

전체 넓이로 나누기

디자인 전체는 가장 바깥 원 144π 이므로 검은 비율은 60π144π\frac{60\pi}{144\pi} = 512\frac{5}{12}.

60π/144π = 60/144 = 5/12
5STEP 5

백분율로 바꾸기

백분율로 512\frac{5}{12} ≈ 41.7%, 가장 가까운 보기는 42.

5/12 = 0.416 ≈ 41.7% → (A) 42
정답
42
감각 체크. 흰 고리 세 개의 넓이는 144π - 100π = 44π, 64π - 36π = 28π, 16π - 4π = 12π 이고 합은 84π. 검정 60π + 흰색 84π = 전체 144π 로 딱 들어맞습니다. 가장 넓은 바깥 고리가 흰색이라서 흰색이 조금 더 많은 게 자연스럽고, 비율로 보면 흰 58.3% 대 검정 41.7%. 보기 중 50% 보다 작은 값은 (A) 42 뿐이고, 그림이 가리키는 위치와 정확히 맞습니다.
💡핵심 정리

검은 영역을 한 번에 재려고 하지 마세요. 작은 원 하나와 고리 두 개로 잘라 π r²로 각각 구하면 비율이 깔끔하게 떨어집니다.

  • 원 여섯 개 넓이 구하기
  • 검은 부분 찾기
  • 검은 넓이 더하기
  • 전체 넓이로 나누기
  • 백분율로 바꾸기

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