경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2025 · #18

학년 7 geometry-2d
유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Nested Frame / Concentric Difference
area-circlessimilar-figuresarea-trianglesperfect-squares easier-related-problemidentify-subproblemsarea-difference ↑ 선수 지식: area-circlesarea-triangleslinear-equations-one-var
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형
문제
원 두 개가 있고, 각 원 안에는 네 꼭짓점이 원 위에 놓인 정사각형(내접정사각형)이 그려져 있습니다. 왼쪽 원은 반지름이 1 이고, 원 안쪽 - 정사각형 바깥쪽인 "사이 영역" 전체가 색칠돼 있습니다. 오른쪽 원은 반지름이 R 인데, 같은 "사이 영역" 중 14\frac{1}{4} 만 색칠돼 있습니다. 두 색칠 영역의 넓이가 같을 때, R 의 값을 구하시오.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$\sqrt{2}$
(B)
2
(C)
$2\sqrt{2}$
(D)
4
(E)
$4\sqrt{2}$

AMC 8 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기

색칠된 "사이 영역" 자체는 다루기 어려운 모양이지만, 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기)로 (원 넓이) - (내접정사각형 넓이)의 차이로 보면 단순해집니다. 도구 #1 (그림 그리기) — 정사각형의 두 대각선을 그어 넣으면 — 정사각형이 원의 중심에서 만나는 네 개의 직각이등변삼각형으로 갈라지고, 각 삼각형의 두 변이 반지름과 같으므로 피타고라스 없이도 정사각형 넓이가 2r² 임을 얻습니다. 도구 #9 (더 쉬운 문제로 줄이기)의 핵심 통찰은 두 그림이 같은 모양 (닮음) 이라는 것 — 그래서 "사이 영역" 의 넓이가 두 원 모두 (π - 2)r²의 공식을 따릅니다. 결국 문제는 (π - 2)(1)² = 1/4(π - 2) R²를 푸는 것, 즉 R² = 4로 압축됩니다.

1STEP 1

내접 정사각형 넓이 구하기

정사각형의 두 대각선을 그으면 반지름 r 을 변으로 하는 직각이등변삼각형 4 개로 갈라지고, 정사각형 넓이는 2r² 입니다.

정사각형 넓이 = 4 × 1/2 · r · r = 2r²
2STEP 2

사이 넓이 공식 세우기

원과 정사각형 사이 영역은 (원 넓이) - (정사각형 넓이)이고, 정리하면 (π - 2) r² 입니다.

사이 영역 넓이(r) = π r² - 2r² = (π - 2) r²
3STEP 3

두 그림에 적용하기

왼쪽은 전체가 색칠돼 π - 2, 오른쪽은 14\frac{1}{4} 만 색칠돼 14\frac{1}{4}(π - 2) R² 입니다.

왼쪽 색칠 = (π - 2)(1)² = π - 2 오른쪽 색칠 = 1/4(π - 2) R²
4STEP 4

두 색칠 넓이를 같게 놓기

등식을 세우면 π - 2 = 14\frac{1}{4}(π - 2) R², 양수인 (π - 2)를 지우면 R² = 4, 즉 R = 2 입니다.

π - 2 = 1/4(π - 2) R² → 1 = R²/4 → R² = 4 → R = 2
5STEP 5

반지름을 선택지와 맞추기

R = 2는 선택지 (B) 입니다.

R = 2 → (B)
정답
2
직관 확인: 오른쪽은 사이 영역의 14\frac{1}{4} 만 색칠되므로, 사이 영역 자체는 왼쪽보다 4 배 더 커야 합니다. 그런데 원의 넓이는 반지름의 제곱에 비례하므로 반지름은 √(4) = 2 배만 커지면 충분 — 4 배가 아닙니다. 이 점에서 (D) 4와 (E) 4√(2)는 즉시 탈락하고, 답 (B) 2와 정확히 맞아떨어집니다. 수치 확인: 왼쪽 색칠 = π - 2 ≈ 1.14, 오른쪽 색칠 = 14\frac{1}{4}(π - 2)(2)² = π - 2 ≈ 1.14로 일치합니다.
💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 7학년 때 배운 "원의 넓이는 π r²" 와 "도형을 닮음으로 키우면 넓이는 배율의 제곱만큼 커진다" 만 알면 풀 수 있어요!

  • 내접 정사각형 넓이 구하기
  • 사이 넓이 공식 세우기
  • 두 그림에 적용하기
  • 두 색칠 넓이를 같게 놓기
  • 반지름을 선택지와 맞추기

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