AMC 8 · 2009 · #12

학년 7 probability

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration

probability-basicprime-numberssystematic-enumeration systematic-enumeration ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticprime-numbers

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

회전판 두 개를 각각 한 번씩 돌립니다. 첫 번째 회전판은 {1, 3, 5} 중 하나에, 두 번째 회전판은 {2, 4, 6} 중 하나에 같은 확률로 멈춥니다. 두 수의 합이 소수일 확률은 얼마일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{2}$

(B)

$\frac{2}{3}$

(C)

$\frac{3}{4}$

(D)

$\frac{7}{9}$

(E)

$\frac{5}{6}$

AMC 8 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

결과 쌍이 3 × 3 = 9 가지뿐이라, 가장 깔끔한 방법은 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 정해진 순서대로 합을 한 번씩 모두 적은 뒤 그중 소수가 몇 개인지 세는 것입니다. 도구 #1(그림 그리기)은 이 나열을 3 × 3 표(회전판 1을 가로, 회전판 2를 세로)로 그려서 빠뜨림이나 중복이 없음을 한눈에 보여 주는 역할입니다. 모든 칸이 같은 확률이므로 확률 = (소수인 합의 개수) / 9 만 계산하면 됩니다.

1STEP 1

두 회전은 독립이고 각 3칸이므로, 똑같이 가능한 순서쌍은 3 × 3 = 9가지입니다.

전체 결과 수 = 3 × 3 = 9

2STEP 2

3 × 3 표에 (행 + 열) 합을 채우면 아홉 개의 합은 3, 5, 7, 5, 7, 9, 7, 9, 11입니다.

+ & 1 & 3 & 5 ; 2 & 3 & 5 & 7 ; 4 & 5 & 7 & 9 ; 6 & 7 & 9 & 11

3STEP 3

합 중 9 = 3 × 3 만 합성수이고 두 칸을 차지하므로, 소수 합 칸은 9 - 2 = 7개입니다.

소수 합 칸 수 = 9 - #{9 칸} = 9 - 2 = 7

4STEP 4

3 × 3 표의 모든 칸이 같은 확률이므로, 확률은 소수 칸 수를 전체 칸 수로 나눈 $\frac{7}{9}$ 입니다.

P(합이 소수) =

\frac{7}{9}

→ (D)

정답

\frac{7}{9}

합은 항상 "홀수 + 짝수 = 홀수" 이고, 가능한 홀수 값은 3, 5, 7, 9, 11 뿐입니다. 이 작은 홀수들 중 소수가 아닌 것은 9 하나뿐이라, 대부분의 칸이 소수일 것으로 예상되며

\frac{7}{9}

가 이 직관과 일치합니다. 다른 선택지

\frac{1}{2}

\frac{2}{3}

\frac{3}{4}

\frac{5}{6}

는 분모가 9 의 약수가 아니라 3 × 3 격자 결과로는 약분 없이 나올 수 없습니다 —

\frac{7}{9}

만 들어맞습니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 7학년 확률 — "가능한 결과를 작은 표에 빠짐없이 적고, 조건에 맞는 칸을 세서 나누기" — 만 알면 풀 수 있어요!

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