AMC 8 · 2009 · #16

학년 4 counting

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration

factorssystematic-enumerationpermutations-basicdigit-constraints systematic-enumerationcasework ↑ 선수 지식: factorsmulti-digit-arithmetic

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

📘 쉬운 버전 보기 →

문제

100 부터 999 까지의 세 자리 양의 정수 중에서, 세 자리 숫자를 모두 곱한 값이 24 가 되는 수가 몇 개인지 세는 문제입니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

"몇 개인가" 라는 질문에 후보 집합이 유한 (세 자리 수 900 개) 하다는 점은 도구 #2(빠짐없이 나열하기)의 전형적인 신호입니다. 그런데 900 개를 모두 훑는 건 비효율적이므로, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 두 단계로 나눕니다 — (a) 곱이 24 가 되는 자리 숫자 묶음 {a, b, c} 을 모두 찾고, (b) 각 묶음에서 만들 수 있는 서로 다른 세 자리 수의 개수를 셉니다. (a) 에서는 a ≤ b ≤ c 순서 규칙으로, (b) 에서는 "작은 수부터" 순서 규칙으로 도구 #2 를 적용하면 누락도 중복도 없습니다.

1STEP 1

어떤 자리든 0 이면 곱이 0 이 되니, 모든 자리 숫자는 1 부터 9 여야 해요 — 백의 자리 조건도 자동 해결.

a, b, c ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, a · b · c = 24

2STEP 2

가장 작은 수 a로 분류: a=1→{1,3,8},{1,4,6}; a=2→{2,2,6},{2,3,4}; a=3 불가 — 네 묶음.

a = 1: b · c = 24 → (3, 8), (4, 6) ; a = 2: b · c = 12 → (2, 6), (3, 4) ; a = 3: b · c = 8 인데 b ≥ 3 이면 b · c ≥ 9 — 불가능 ; 묶음: {1, 3, 8}, {1, 4, 6}, {2, 2, 6}, {2, 3, 4}

3STEP 3

서로 다른 세 숫자 묶음({1,3,8},{1,4,6},{2,3,4})은 각각 6 개로 배열돼요 — 3×2×1.

{1, 3, 8}: 138, 183, 318, 381, 813, 831 → 6 개 ; {1, 4, 6}: 146, 164, 416, 461, 614, 641 → 6 개 ; {2, 3, 4}: 234, 243, 324, 342, 423, 432 → 6 개

4STEP 4

같은 숫자가 있는 {2, 2, 6} 은 3 개뿐 — 6 이 갈 세 자리만 따지면 돼요 (226, 262, 622).

{2, 2, 6}: 226, 262, 622 → 3 개

5STEP 5

경우별 개수를 모두 더하면 6 + 6 + 6 + 3 = 21 — 선택지 (D).

6 + 6 + 6 + 3 = 21 → (D)

정답

세 자리 수는 총 900 개인데, 그중 21 개가 조건을 만족합니다. 약 2.3% 수준으로, "자리 숫자의 곱이 정확히 24" 라는 꽤 까다로운 조건치고는 그럴듯한 비율입니다. a ≤ 3 까지만 봐도 (a = 3 이면 bc = 8, b ≥ 3 이라 모순) 모든 묶음이 나오므로 빠뜨린 경우는 없고, 21 은 선택지 (D) 와 일치합니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 4학년 "인수쌍 모두 찾기" 와 꼼꼼한 세기만으로 풀 수 있어요 — 순열 공식 같은 건 필요 없답니다!

비슷한 유형 더 풀어보기