AMC 8 · 2009 · #17

학년 8 number-theory

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Successive Multiplicative Steps

prime-factorizationperfect-squaresexponents identify-subproblemspattern-recognition ↑ 선수 지식: prime-factorizationexponents

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

360 · x 가 완전제곱수가 되게 하는 가장 작은 양의 정수를 x, 360 · y 가 완전세제곱수가 되게 하는 가장 작은 양의 정수를 y 라 합시다. x + y 를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

115

(D)

165

(E)

610

AMC 8 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

한 문제처럼 보이지만 사실은 "x 구하기" 와 "y 구하기" 라는 독립된 두 문제를 합으로 묶어 놓은 구조입니다. 그래서 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 자연스러운 출발점 — 각각 푼 다음 마지막에 더하면 됩니다. 두 소문제는 모두 같은 준비물(360의 소인수분해와 지수)을 씁니다. 도구 #12(규칙 찾기)는 두 소문제를 관통하는 패턴을 이름 붙여 줍니다: 어떤 수가 완전제곱수(또는 세제곱수)가 되려면 각 소인수의 지수를 다음 짝수(또는 3의 배수)까지 끌어올리면 된다. 이 한 줄짜리 규칙이 360 의 소인수분해만 있으면 x 와 y 를 기계적으로 만들어 줍니다.

1STEP 1

360 을 소인수분해하면 2³ · 3² · 5¹ — 지수는 3, 2, 1 입니다.

360 = 36 · 10 = (2² · 3²)(2 · 5) = 2³ · 3² · 5¹

2STEP 2

완전제곱수가 되려면 각 지수를 다음 짝수까지 올리므로, 모자란 인수는 x = 10 입니다.

x = 2¹ · 3⁰ · 5¹ = 2 · 5 = 10

3STEP 3

확인: 360 · 10 = 3600 = 60², 완전제곱수입니다.

360 · 10 = 3600 = 60² ✓

4STEP 4

완전세제곱수가 되려면 각 지수를 다음 3 의 배수까지 올리므로, 모자란 인수는 y = 75 입니다.

y = 2⁰ · 3¹ · 5² = 3 · 25 = 75

5STEP 5

확인: 360 · 75 = 2³ · 3³ · 5³ = 30³ = 27000, 완전세제곱수입니다.

360 · 75 = 2³ · 3³ · 5³ = 30³ = 27000 ✓

6STEP 6

두 소문제의 답을 더합니다: x + y = 10 + 75 = 85 → (B).

x + y = 10 + 75 = 85 → (B)

정답

선택지의 크기로 점검합니다. 보기는 80 부터 610 까지 분포돼 있고, 가운데에 있는 85, 115, 165 는 10 + 75 와 비슷한 규모입니다. 극단의 80 이나 610 이 답이 되려면 y 가 70 근처나 600 근처여야 하는데, 360 · 600 = 216000 = 60³ 은 "가장 작은" 세제곱 배수가 아니고 360 · 70 = 25200 은 세제곱수도 아닙니다. 소인수 분석이 가리키는 85 가 보기의 구조와도, 규모와도 모두 맞아떨어집니다.

💡핵심 정리

360 을 소인수로 쪼갠 뒤, 제곱수에서는 각 지수를 다음 짝수, 세제곱수에서는 다음 3 의 배수까지 올리는 한 가지 규칙으로 x 와 y 가 한 번에 나옵니다.

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