경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2010 · #10

학년 7 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Nested Frame / Concentric Difference

area-circlesratio-proportionfraction-arithmetic identify-subproblems ↑ 선수 지식: area-circlesfraction-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

지름이 12 인치인 원 모양 피자가 있습니다. 크기가 모두 같은 페퍼로니 6 개가 그 지름을 따라 가장자리끼리 맞붙어 정확히 한 줄로 들어맞습니다. 같은 페퍼로니 24 개를 피자 위에 서로 겹치지 않게 놓았을 때, 페퍼로니가 덮은 부분은 피자 전체 넓이의 몇 분의 몇일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac 12$

(B)

$\frac 23$

(C)

$\frac 34$

(D)

$\frac 56$

(E)

$\frac 78$

AMC 8 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

도구 #1(그림 그리기)로 문장을 그림으로 바꿉니다 — 큰 원(피자) 안에 작은 원 6 개가 지름을 따라 줄지어 있는 그림. 이 그림 한 장이면 페퍼로니 한 개의 지름이 곧 12 ÷ 6 임을 바로 알 수 있습니다. 마무리는 도구 #11(대칭·구조 찾기)의 몫입니다 — 피자 넓이와 페퍼로니 전체 넓이 모두 π 의 배수이기 때문에 π 가 약분되고, 남는 건 깔끔한 정수 비율뿐입니다. 식을 세울 필요가 없습니다.

1STEP 1

페퍼로니 반지름 구하기

페퍼로니 6 개가 12 인치 지름을 채우므로 한 개의 지름은 12 ÷ 6 = 2 인치, 반지름 1 인치 입니다.

페퍼로니 지름 = 12/6 = 2 인치 → r_페퍼 = 1 인치

2STEP 2

피자 넓이 구하기

피자의 반지름은 6 인치이므로 넓이는 π · 6² = 36π 제곱인치입니다.

A_피자 = π · 6² = 36π 제곱인치

3STEP 3

페퍼로니 전체 넓이 구하기

페퍼로니 한 개의 넓이는 π 이므로, 겹치지 않는 24 개의 총 넓이는 24π 제곱인치입니다.

A_페퍼,합 = 24 · π · 1² = 24π 제곱인치

같은 원의 넓이 공식을 개수만큼 더한 것 — "겹치지 않는다" 는 조건 덕분에 단순히 합할 수 있습니다.

겹치지 않는 24개의 페퍼로니 원은 피자를 모두 합쳐 24π 제곱인치만큼 덮는다.

▸ 왜?

페퍼로니 하나는 반지름이 1인치인 원이고, 반지름이 r인 원판은 넓이 π r²을 덮으므로, 페퍼로니 하나는 π · 1² = π 제곱인치를 덮는다.

▸ 왜?

페퍼로니 하나는 지름이 2인치이고, 반지름은 그 절반인 1인치이다.

▸ 왜?

여섯 개의 같은 페퍼로니 너비가 12인치 지름을 따라 빈틈도 겹침도 없이 맞닿아 늘어서 있으므로, 이들이 합쳐 12인치 전체를 다시 이루고, 12를 여섯으로 똑같이 나누면 각 너비는 2인치가 된다.

전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.

▸ 왜?

반지름은 너비의 절반인데, 지름이 한쪽 가장자리에서 중심을 지나 반대쪽 가장자리까지 두 반지름을 맞이어 놓은 것이고, 한 원의 두 반지름은 길이가 같기 때문이다.

원의 반지름은 일정하다원 위의 모든 점은 중심에서 반지름만큼 떨어져 있어, 한 원의 모든 반지름은 같다.

▸ 왜?

반지름이 r인 원판은 정확히 π r²의 넓이를 덮는다 — 이것이 원의 넓이 공식이다.

원의 넓이반지름이 r인 원의 넓이는 πr²이다.

▸ 왜?

어느 두 페퍼로니도 겹치지 않으므로 24개의 같은 넓이가 중복 없이 더해지고, π를 스물네 번 더하는 것은 π의 같은 묶음 24개이니 24π가 된다.

▸ 왜?

어느 두 페퍼로니도 겹치지 않으므로, 그들이 덮는 넓이는 어떤 부분도 두 번 세지 않고 더해지는 별개의 조각들이다.

전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.

▸ 왜?

같은 넓이 π를 모두 24번 더하는 것은 π의 같은 묶음 24개와 같고, 같은 크기 묶음을 모두 세는 것이 곱셈이므로 24 · π가 된다.

곱셈은 같은 크기 묶음a 곱하기 b는 b가 든 같은 묶음 a개 — 같은 양을 반복해서 더하는 것이다.

7.G.B.4Draw A Diagram

4STEP 4

넓이 비 만들기

덮인 비율은 $\frac{24π}{36π}$ 이고, 분자·분모의 π 가 약분되어 $\frac{24}{36}$ 만 남습니다.

A_페퍼,합/A_피자 = 24π/36π = 24/36

5STEP 5

분수 약분하기

24와 36은 모두 12로 나누어떨어지므로 $\frac{24}{36}$ 은 $\frac{2}{3}$ 로 약분됩니다 — (B).

24/36 = (24 ÷ 12)/(36 ÷ 12) = 2/3 → (B)

정답

2/3

원 안에 원들을 빈틈없이 채우는 것은 원리상 불가능하므로 덮인 비율은 반드시 1 보다 작아야 합니다. 또, 페퍼로니 한 개의 반지름은 피자 반지름의

\frac{1}{6}

배이므로 넓이는 (

\frac{1}{6}

)² =

\frac{1}{36}

배입니다. 24 개면

\frac{24}{36}

\frac{2}{3}

— 같은 답입니다.

\frac{2}{3}

은 다른 선택지들 사이에 자연스럽게 자리 잡고, 더 큰 값

\frac{3}{4}

\frac{5}{6}

\frac{7}{8}

은 비현실적임을 함께 배제해 줍니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 7학년 때 배우는 원의 넓이 공식 A = π r²만 알면 풀 수 있어요 — 그것도 π 가 약분되어 깔끔한 분수만 남습니다!

페퍼로니 반지름 구하기
피자 넓이 구하기
페퍼로니 전체 넓이 구하기
넓이 비 만들기
분수 약분하기

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페퍼로니 반지름 구하기

피자 넓이 구하기

페퍼로니 전체 넓이 구하기

넓이 비 만들기

분수 약분하기

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