AMC 8 · 2010 · #16

학년 8 geometry-2d

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Weighted Group Aggregation

area-rectanglesarea-circlesratio-proportionexponents identify-subproblemsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: area-rectanglesarea-circlesexponents

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

정사각형과 원의 넓이가 정확히 같습니다. 정사각형의 한 변의 길이와 원의 반지름의 비는 얼마인가요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{\sqrt{\pi}}{2}$

(B)

$\sqrt{\pi}$

(C)

$\pi$

(D)

$2\pi$

(E)

$\pi^{2}$

AMC 8 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 더 쉬운 문제로 줄이기

비 $\frac{s}{r}$ 은 실제 크기와 무관하므로, 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기) 로 r = 1 로 못 박으면 문제는 "넓이가 π 인 정사각형의 한 변은?" 한 줄로 줄어듭니다 — 추상적인 변수 없이 구체적인 한 경우만으로 비가 나옵니다. 도구 #1(그림 그리기) 은 "넓이가 같다" 는 조건을 눈에 보이게 해 줍니다 — 반지름 1 인 원과 같은 넓이의 정사각형을 나란히 그려 봅니다. 도구 #6(추측하고 확인하기) 는 객관식 안전망입니다 — 각 선택지를 제곱했을 때 π 가 되는 것은 단 하나입니다.

1STEP 1

한 변이 s 인 정사각형과 반지름이 r 인 원을 나란히 그리고 두 넓이를 같다고 놓습니다.

s² = π r²

2STEP 2

가장 간단한 원 r = 1 을 고르면 넓이가 π 이므로, 정사각형의 넓이도 π 여야 합니다.

r = 1 → π r² = π → s² = π

3STEP 3

정사각형의 넓이는 한 변의 제곱이므로, 한 변은 넓이의 양의 제곱근 s = √(π) 입니다.

s² = π → s = √(π)

4STEP 4

r = 1, s = √(π) 이므로 한 변 대 반지름의 비는 곧 s 자체, √(π) — 선택지 (B) 입니다.

\frac{s}{r}

\frac{√(π)}{1}

= √(π) → (B)

정답

√(π)

크기 감각으로 점검합니다. √(π) ≈ √(3.14) ≈ 1.77 이므로 정사각형의 한 변은 원의 반지름의 약 1.77 배 — 즉 지름 (2r) 보다 살짝 작습니다. 그림으로도 맞습니다: 반지름 r 인 원은 한 변이 2r (넓이 4r²) 인 정사각형 안에 쏙 들어가므로, 같은 넓이의 정사각형은 그보다 한 변이 살짝 짧아야 합니다. 1.77r 은 정확히 그 범위 안입니다. 다른 선택지는 이 검산을 통과 못 합니다 — π ≈ 3.14, 2π ≈ 6.28 이면 정사각형이 둘러싸는 2r 정사각형보다 훨씬 커져 버려 불가능합니다.

💡핵심 정리

비가 크기에 안 달려 있을 때는, 가장 쉬운 경우 (r = 1) 를 고르면 문제 전체가 제곱근 하나로 줄어듭니다!

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