AMC 8 · 2010 · #17

학년 6 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

area-rectanglesarea-trianglescoordinate-geometryratio-proportion area-differenceidentify-subproblemscoordinate-geometry ↑ 선수 지식: area-rectanglesarea-triangles

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

문제

팔각형은 단위 정사각형 10 개로 이루어져 있어서 전체 넓이는 10 입니다. 선분 PQ 가 팔각형의 넓이를 둘로 똑같이 나눕니다. PQ 아래 영역은 "단위 정사각형 하나 + 밑변이 5 인 삼각형" 으로 주어져 있습니다. 점 Q 는 세로 선분 XY 위에 있고, X=(5,2), Y=(5,1) 입니다. 비율

\frac{XQ}{QY}

를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{2}{5}$

(B)

$\frac{1}{2}$

(C)

$\frac{3}{5}$

(D)

$\frac{2}{3}$

(E)

$\frac{3}{4}$

AMC 8 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

문제 자체가 아래쪽 영역을 "단위 정사각형 + 밑변 5 인 삼각형" 으로 깔끔하게 쪼개 줍니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 "아래쪽 영역 넓이 = 정사각형 넓이 + 삼각형 넓이" 라고 쓰면, 삼각형의 높이 — 곧 Q 의 y 좌표 — 만 구하면 끝납니다. 도구 #1(그림 그리기) 은 보조 도구입니다. X=(5,2), Y=(5,1), Q=(5,h) 를 그림 위에 찍어 두면 XQ = 2-h, QY = h-1 이 한눈에 보이고, 마지막 비율은 두 번의 뺄셈으로 끝납니다.

1STEP 1

팔각형은 단위 정사각형 10 개라 넓이가 10 이고, 이등분하면 한쪽 넓이가 5 입니다.

PQ 아래 영역 넓이 =

\frac{10}{2}

= 5

2STEP 2

아래쪽 조각을 넓이 1 인 정사각형과 밑변 5, 높이 h 인 삼각형으로 쓰고, 그 합을 5 로 놓습니다.

1 +

\frac{1}{2}

(5)(h) = 5

3STEP 3

양변에서 1 을 빼고 $\frac{5}{2}$ 로 나누면 높이 h = $\frac{8}{5}$ 입니다.

\frac{5}{2}

h = 4 → h =

\frac{8}{5}

4STEP 4

Q 는 (5, $\frac{8}{5}$ ) 이므로 XQ = 2 - $\frac{8}{5}$ = $\frac{2}{5}$ , QY = $\frac{8}{5}$ - 1 = $\frac{3}{5}$ 입니다.

XQ = 2 -

\frac{8}{5}

\frac{2}{5}

, QY =

\frac{8}{5}

- 1 =

\frac{3}{5}

5STEP 5

분모가 같으므로 $\frac{XQ}{QY}$ = ( $\frac{2}{5}$ )/( $\frac{3}{5}$ ) = $\frac{2}{3}$ , 즉 (D) 입니다.

\frac{XQ}{QY}

= (

\frac{2}{5}

)/(

\frac{3}{5}

) =

\frac{2}{3}

→ (D)

정답

\frac{2}{3}

높이 h =

\frac{8}{5}

= 1.6 은 1 과 2 사이에 있어서 Q 가 XY 위에 잘 놓입니다. 넓이도 확인해 보면 정사각형 1 + 삼각형

\frac{1}{2}

(5)(1.6) = 4 의 합이 5 로, 전체 10 의 절반과 정확히 일치합니다. 마지막으로 XQ + QY =

\frac{2}{5}

\frac{3}{5}

= 1 인데, 이것은 y=1 부터 y=2 까지인 XY 의 길이와 같습니다. 세 가지 검증이 모두 통과하고, 답 (D)

\frac{2}{3}

도 선택지 안에 있습니다.

💡핵심 정리

아래쪽 영역을 "정사각형 + 삼각형" 으로 쪼개고 나면, 이 AMC 8 문제는 이미 알고 있는 6학년 넓이·비율 개념만으로 풀 수 있어요.

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