AMC 8 · 2010 · #18

학년 7 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Circle-Polygon Hybrid

area-rectanglesarea-circlesratio-proportion identify-subproblemsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: area-rectanglesarea-circlesratio-proportion

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

장식용 창문은 직사각형 ABCD 의 짧은 두 변(AB 와 CD)에 각각 반원이 하나씩 붙어 있는 모양입니다. 변의 비는 AD:AB = 3:2 이고 AB = 30 인치입니다. 직사각형의 넓이와 두 반원의 넓이 합의 비를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

2:3

(B)

3:2

(C)

$6:\pi$

(D)

$9:\pi$

(E)

$30:\pi$

AMC 8 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변수 도입하기

구체적인 30 인치 값은 비를 구할 때 결국 약분되어 사라지므로, 도구 #5(변수 도입하기) 로 AB = 2k, AD = 3k 라고 놓으면 식이 깔끔하고 약분이 눈에 잘 보입니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 은 도형을 따로 처리할 수 있는 두 부분 — 직사각형(가로 × 세로) 과 두 반원(합치면 반지름 k 인 원 하나) — 으로 분리해 줍니다. 각각의 넓이를 구한 뒤 비를 잡으면 π 는 그대로 남고 k² 은 깔끔히 약분됩니다.

1STEP 1

AD:AB = 3:2 에서 변을 AB = 2k, AD = 3k 로 놓고 k 를 그대로 둡니다 — 30 은 약분돼요.

AB = 2k, AD = 3k

2STEP 2

직사각형 넓이 = 가로 × 세로 = 3k × 2k = 6k².

직사각형 넓이 = AD × AB = 3k × 2k = 6k²

3STEP 3

각 반원의 지름은 짧은 변 AB = 2k 이므로, 반지름은 r = k 입니다.

r =

\frac{AB}{2}

\frac{2k}{2}

= k

4STEP 4

같은 반지름의 두 반원을 붙이면 반지름 k 인 원 하나가 되므로, 합친 넓이는 π k² 입니다.

두 반원 넓이 합 = π r² = π k²

5STEP 5

6k² 을 π k² 으로 나누면 k² 이 약분되어 비는 6:π — 선택지 (C).

\frac{(직사각형 넓이)}{(두 반원 넓이 합)}

\frac{6k²}{π k²}

\frac{6}{π}

→ 6:π → (C)

정답

6:π

실제 숫자로 검산해 봅시다. AB = 30 → k = 15 이므로 직사각형 넓이 = 6 · 15² = 1350 in², 두 반원 넓이 합 = π · 15² = 225π in². 비

\frac{1350}{225π}

\frac{6}{π}

로 일치합니다. 수치로 보면

\frac{6}{π}

≈ 1.91 이라, 직사각형이 두 반원의 합보다 거의 두 배 가깝게 큽니다 — 45 × 30 의 길쭉한 직사각형이 반지름 15 의 원보다 명백히 더 크다는 그림의 직관과도 잘 맞습니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 7학년 원 넓이 공식 A = π r² 에다, 6학년에서 배운 "변의 길이를 문자로 잡기" 만 더하면 풀려요. 30 인치는 사실 미끼였어요!

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