경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2010 · #23

학년 8 geometry-2d
유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Nested Frame / Concentric Difference
area-circlespythagorean-theoremcoordinate-geometryratio-proportion identify-subproblemscoordinate-geometry ↑ 선수 지식: area-circlespythagorean-theorem
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형
문제
원점에 중심을 둔 원 O 가 네 점 P(-1,1), Q(1,1), R(-1,-1), S(1,-1) 을 지납니다. 두 개의 반원이 그려져 있는데, 하나는 현 PQ 를 지름으로 하고 중심 O 를 지나는 반원이고, 다른 하나는 현 RS 를 지름으로 하고 마찬가지로 O 를 지나는 반원입니다. 두 반원의 넓이를 합한 값과 원 O 의 넓이의 비는 얼마일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$\frac{\sqrt{2}}{4}$
(B)
$\frac{1}{2}$
(C)
$\frac{2}{\pi}$
(D)
$\frac{2}{3}$
(E)
$\frac{\sqrt{2}}{2}$

AMC 8 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 좌표 사용하기

그림이 이미 좌표평면 위에 네 꼭짓점과 함께 그려져 있으므로, 도구 #11(좌표 사용하기)로 길이를 모두 두 점 사이의 거리로 바꿔서 계산하면 됩니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 문제를 두 부분 — O 에서 P 까지의 거리로 큰 원의 반지름 구하기, 현 PQ 의 길이로 작은 반원의 반지름 구하기 — 으로 깔끔하게 나눠 줘서, 마지막 넓이 비는 (2 · 1/2π r_작²)/(π r_큰²) 한 줄로 끝납니다.

1STEP 1

큰 원 반지름 구하기

O=(0,0), P(-1,1)이 원 위에 있으니 피타고라스로 큰 원의 반지름은 OP = √(2) 입니다.

r_큰 = √((-1-0)² + (1-0)²) = √(1 + 1) = √(2)
2STEP 2

큰 원 넓이 구하기

A=π r²에 r=√(2)를 넣으면 원 O 의 넓이는 2π 입니다.

A_큰 = π (√(2))² = 2π
3STEP 3

작은 반원 반지름 구하기

PQ 는 (-1,1)~(1,1) 수평선이라 길이 2, 그 지름의 절반이 반원 반지름 1 입니다.

PQ = 1 - (-1) = 2 → r_작 = PQ/2 = 1
4STEP 4

두 반원 넓이 구하기

각 반원 넓이는 12\frac{1}{2}π(1)² = π2\frac{π}{2}, 둘을 합치면 단위원 하나 분량인 π 입니다.

A_반원들 = 2 · 1/2π (1)² = π
5STEP 5

넓이 비 구하기

반원 넓이를 원 O 넓이로 나누면 π2π\frac{π}{2π} = 12\frac{1}{2}, 답은 (B)입니다.

A_반원들/A_큰 = π/2π = 1/2 → (B)
정답
1/2
큰 원의 반지름은 √(2) ≈ 1.41이라 넓이가 2π, 즉 단위원의 정확히 두 배입니다. 두 반원은 (넓이 면에서) 단위원 하나로 합쳐져 π 가 되고, 따라서 비는 π : 2π = 1 : 2로 답 (B)와 정확히 맞습니다. 다른 선택지는 간단한 단위 검사로 걸러집니다 — 2π\frac{2}{π} ≈ 0.637 처럼 비에 π 가 남으면 모순이고, 24\frac{\sqrt{2}}{4}, 22\frac{\sqrt{2}}{2} 는 넓이가 아닌 길이의 비처럼 보입니다.
💡핵심 정리

이 AMC 8 기하 문제는 사실 8학년 거리 공식과 7학년 원의 넓이 공식만 알면 풀 수 있어요!

  • 큰 원 반지름 구하기
  • 큰 원 넓이 구하기
  • 작은 반원 반지름 구하기
  • 두 반원 넓이 구하기
  • 넓이 비 구하기

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