AMC 8 · 2010 · #24

학년 8 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Multi-Segment Path or Count Sum

exponentspattern-recognition identify-subproblemspattern-recognition ↑ 선수 지식: exponentsmulti-digit-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

세 수 10⁸, 5¹², 2²⁴ 를 작은 것부터 큰 것 순으로 나열하고, 그에 맞는 선택지를 고르세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$2^{24}<10^8<5^{12}$

(B)

$2^{24}<5^{12}<10^8$

(C)

$5^{12}<2^{24}<10^8$

(D)

$10^8<5^{12}<2^{24}$

(E)

$10^8<2^{24}<5^{12}$

AMC 8 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 더 쉬운 비슷한 문제 풀어보기

9 자리짜리 수를 정면으로 비교하는 건 번거롭지만, 지수 8, 12, 24 가 모두 공약수 4 를 가집니다. 그래서 도구 #9 로, 원래 문제를 "네제곱근끼리 비교하기" 라는 더 쉬운 문제로 바꿉니다. 네제곱근은 양수에서 증가함수이므로 네제곱근의 순서가 곧 원래 수의 순서입니다. 그 뒤 도구 #7 로 세 수 비교를 작은 수 10², 5³, 2⁶ 사이의 짝 비교로 쪼개면, 6 학년 수준의 계산만으로 답이 나옵니다.

1STEP 1

지수가 모두 4 의 배수이니 각 수를 (a^m)ⁿ = a^mn 로 4 제곱 꼴로 다시 씁니다.

10⁸ = (10²)⁴, 5¹² = (5³)⁴, 2²⁴ = (2⁶)⁴

2STEP 2

x↦x⁴ 는 증가함수라, 원래 수의 순서는 밑 10², 5³, 2⁶ 의 순서와 같습니다.

10⁸ vs. 5¹² vs. 2²⁴ 대신 10² vs. 5³ vs. 2⁶ 을 비교

3STEP 3

작아진 세 거듭제곱을 계산하면 10² = 100, 5³ = 125, 2⁶ = 64.

10² = 100, 5³ = 125, 2⁶ = 64

4STEP 4

세 값을 줄세우면 64 ＜ 100 ＜ 125.

64 ＜ 100 ＜ 125

5STEP 5

작은 수는 각각 큰 수의 네제곱근이라 같은 순서가 그대로 올라가: 2²⁴ ＜ 10⁸ ＜ 5¹² — 선택지 (A).

2⁶ ＜ 10² ＜ 5³ ⟹ 2²⁴ ＜ 10⁸ ＜ 5¹² → (A)

정답

2²⁴ ＜ 10⁸ ＜ 5¹²

어림으로도 확인해 봅시다. 2¹⁰ ≈ 1000 이므로 2²⁴ = 2²⁰ · 2⁴ ≈ 10⁶ · 16 ≈ 1.6 × 10⁷ 로, 10⁸ 보다 한참 작습니다. 또 10⁸ = (5 · 2)⁸ = 5⁸ · 2⁸ = 5⁸ · 256 이고 5¹² = 5⁸ · 5⁴ = 5⁸ · 625 인데, 625 ＞ 256 이므로 5¹² ＞ 10⁸. 두 어림 모두 2²⁴ ＜ 10⁸ ＜ 5¹² 와 맞아떨어집니다.

💡핵심 정리

맞붙여 비교하기엔 너무 큰 수가 나오면, 공통 지수를 찾아 같은 거듭제곱근을 씌워 보세요 — 순서는 그대로, 숫자는 손으로 다룰 만한 크기로 줄어듭니다.

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