경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2010 · #6
학년 4 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
대칭축 개수 세기는 본질적으로 시각적인 작업이라 도구 #1(그림 그리기)이 주된 도구로 가장 자연스럽습니다 — 각 도형을 직접 스케치한 뒤, 수직선·수평선·두 대각선 등 가능한 접는 선을 하나씩 시도해 보면 됩니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)는 정리용으로, 다섯 도형 각각의 개수를 표처럼 나열한 뒤 그중 최댓값을 읽기만 하면 됩니다. 대수나 좌표는 필요 없고, 도형의 속성만 묻는 순수한 문제입니다.
정삼각형 접어 보기
정삼각형은 각 꼭짓점에서 마주 보는 변 중점까지의 접기가 자기 자신과 겹쳐, 대칭축은 3 개.
"접었을 때 자기 자신과 겹친다" 는 게 바로 4학년 대칭축의 정의입니다.
4.G.A.3Draw A Diagram마름모 접어 보기
정사각형이 아닌 마름모는 두 대각선으로만 겹치고 중선으로는 안 겹쳐, 대칭축은 2 개.
후보가 되는 접는 선을 하나씩 직접 시험하는 것도 똑같이 4학년 대칭축 표준입니다.
4.G.A.3Draw A Diagram직사각형 접어 보기
정사각형이 아닌 직사각형은 두 중선으로만 겹치고 대각선으로는 안 겹쳐, 대칭축은 2 개.
그림에 후보 선을 직접 그어 보는 같은 4학년 접기 테스트입니다.
4.G.A.3Draw A Diagram등변사다리꼴 접어 보기
등변사다리꼴은 두 평행변 중점을 잇는 수직선으로만 겹쳐, 대칭축은 1 개.
특정 사각형에 4학년 대칭축의 정의를 그대로 적용한 것입니다.
4.G.A.3Draw A Diagram정사각형 접어 보기
정사각형은 두 대각선과 두 중선 모두로 겹쳐, 대칭축은 4 개.
정사각형은 마름모의 대각선들과 직사각형의 중선들을 모두 가지는 — 4학년이면 직접 확인할 수 있는 사실.
정사각형은 네 개의 선 — 두 대각선과 두 중선 — 을 따라 접으면 자기 자신에 딱 포개진다.
▸ 왜?
어느 대각선을 따라 접어도 정사각형의 삼각형 절반이 다른 절반 위에 정확히 포개진다. 접기가 대각선 밖의 두 꼭짓점을 서로 맞바꾸고 네 개의 같은 변이 각자의 짝 위에 내려앉기 때문이다.
▸ 왜?
접기는 거울 뒤집기이고, 뒤집기는 모든 길이와 각을 그대로 두므로, 같은 변과 직각이 대각선 건너편 자기 짝과 만나 삐져나오는 부분이 없다.
▸ 왜?
어느 중선 — 마주 보는 두 변의 중점을 잇는 선 — 을 따라 접어도 정사각형의 절반이 다른 절반 위에 정확히 포개진다. 마주 보는 변이 서로 같고 정면으로 마주하기 때문이다.
▸ 왜?
접기는 길이와 각을 보존하는 거울 뒤집기여서, 한쪽 절반의 각 점이 다른 절반의 같은 거리에 있는 짝과 만나 두 절반이 겹쳐진다.
가장 많은 개수 고르기
개수를 나열하면 삼각형 3, 마름모 2, 직사각형 2, 사다리꼴 1, 정사각형 4 — 최댓값은 4, 정사각형.
각 도형을 속성(여기서는 대칭축 개수)으로 나열해 비교하는 것은 3학년의 "도형들이 속성을 공유한다" 는 아이디어입니다.
3.G.A.1Make A Systematic List이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 "대칭축" 개념만 알면 풀 수 있어요!
- 정삼각형 접어 보기
- 마름모 접어 보기
- 직사각형 접어 보기
- 등변사다리꼴 접어 보기
- 정사각형 접어 보기
- 가장 많은 개수 고르기
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