경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2024 · #5

학년 4 number-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Answer-Choice Plug-In

divisibility-rulesfactorsmultiples caseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticfactors

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

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문제

서연이가 표준 6면체 주사위 두 개를 던져, 두 눈의 곱이 6의 배수가 되었다. 보기 5, 6, 7, 8, 9 중에서 두 눈의 합 d₁ + d₂가 될 수 없는 정수를 찾아야 한다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

확인해야 할 합 보기가 다섯 개뿐이고, 각 합을 만드는 주사위 쌍도 몇 개에 불과하므로 합이 같은 모든 쌍 (d₁, d₂)를 빠짐없이 나열할 수 있다(도구 #2). 어떤 쌍 하나라도 곱이 6의 배수이면 그 합은 가능한 것으로 확정되어 보기에서 지운다(도구 #3). 또한 'd₁ d₂가 6의 배수인가?'라는 큰 질문을 '2의 배수인가?'와 '3의 배수인가?'라는 두 개의 작은 질문으로 쪼개면 검사가 단번에 끝난다(도구 #7). 대수는 필요 없다.

1STEP 1

6의 배수 조건을 두 조건으로 쪼개기

6 = 2 × 3이므로, 곱이 6의 배수이려면 두 눈에 짝수 하나와 3의 배수 하나가 있어야 한다.

6 = 2 × 3 → d₁ × d₂ ≡ 0 (mod 6) ⇔ (짝수 1개 이상) AND (3의 배수 1개 이상)

2STEP 2

합 5 검사하기

합 5인 쌍 (1,4)→곱 4, (2,3)→곱 6. 2 × 3 = 6이 6의 배수이므로 합 5 가능, (A) 제외.

1+4=5, 1 × 4 = 4 (불가) ; 2+3=5, 2 × 3 = 6 ✓

3STEP 3

합 6 검사하기

합 6인 쌍 (1,5)→5, (2,4)→8, (3,3)→9. 어느 것도 6의 배수가 아니라 합 6은 모든 쌍이 실패.

1 × 5 = 5 (불가) ; 2 × 4 = 8 (불가) ; 3 × 3 = 9 (불가)

한 자리 수의 곱셈과 나누어떨어짐 판정은 3학년의 100 이내 곱셈 자동화로 해결된다.

합이 6이 되는 두 주사위 값의 쌍은 어느 것도 곱이 6의 배수가 될 수 없다.

▸ 왜?

곱이 6의 배수가 되려면 2라는 인수와 3이라는 인수를 동시에 가져야 한다. 6 자체가 2 곱하기 3이기 때문이다. 그래서 조건을 만족하는 쌍은 짝수 값과 3의 배수를 모두 포함해야 한다.

▸ 왜?

6의 배수는 6을 정수 개 모은 것이고, 각 6은 2와 3으로 다시 묶을 수 있으므로 곱에는 언제나 2라는 인수와 3이라는 인수가 들어 있다.

곱셈의 결합법칙세 수를 곱할 때 어느 둘을 먼저 묶든 곱은 같다.

▸ 왜?

3이라는 인수를 공급하는 주사위 값은 3과 6뿐이므로, 합이 6인 쌍은 이 둘 중 하나를 포함해야 하지만 어느 쪽을 골라도 실패한다.

▸ 왜?

3의 배수를 3, 6, 9 하는 식으로 3씩 거듭 더해 세면, 주사위의 범위인 1부터 6 안에 들어오는 것은 3과 6뿐이다.

곱셈은 같은 크기 묶음a 곱하기 b는 b가 든 같은 묶음 a개 — 같은 양을 반복해서 더하는 것이다.

▸ 왜?

6을 쓰면 짝이 6 빼기 6, 즉 0이 되어야 하는데 이는 어떤 주사위에도 없는 값이므로 6인 경우는 불가능하다.

역연산뺄셈은 덧셈을, 나눗셈은 곱셈을 되돌린다 — 서로를 거꾸로 한다.

▸ 왜?

3을 쓰면 짝이 6 빼기 3, 즉 다시 3이 되어야 하므로 남는 쌍은 3과 3뿐이고, 이 쌍에는 필요한 2라는 인수를 줄 짝수 값이 없다.

▸ 왜?

짝은 합 6에서 이미 아는 3을 덜어내어 찾고, 6 빼기 3은 3이다 — 뺄셈은 합을 만든 덧셈을 되돌릴 뿐이다.

역연산뺄셈은 덧셈을, 나눗셈은 곱셈을 되돌린다 — 서로를 거꾸로 한다.

▸ 왜?

두 주사위가 모두 3이라는 홀수이고, 홀수 곱하기 홀수는 홀수로 남으므로 그 곱 9는 쌍에 아직 필요한 짝수 부분을 줄 2라는 인수를 갖지 못한다.

짝수와 홀수(패리티)정수는 2로 나누어지면 짝수, 아니면 홀수; 홀×홀은 홀수, 짝×무엇이든 짝수다.

3.OA.C.7Make A Systematic List

4STEP 4

합 7 검사하기

합 7인 쌍 (1,6)→6, (2,5)→10, (3,4)→12. 6과 12가 6의 배수라 합 7 가능, (C) 제외.

1 × 6 = 6 ✓ ; 2 × 5 = 10 (불가) ; 3 × 4 = 12 ✓

5STEP 5

합 8 검사하기

합 8인 쌍 (2,6)→12, (3,5)→15, (4,4)→16. 2 × 6 = 12가 6의 배수라 합 8 가능, (D) 제외.

2 × 6 = 12 ✓ ; 3 × 5 = 15 (불가) ; 4 × 4 = 16 (불가)

6STEP 6

합 9 검사하기

합 9인 쌍 (3,6)→18, (4,5)→20. 3 × 6 = 18이 6의 배수라 합 9 가능, (E) 제외.

3 × 6 = 18 ✓ ; 4 × 5 = 20 (불가)

7STEP 7

남은 합 하나 고르기

A, C, D, E는 곱이 6의 배수인 쌍이 있어 제거되고 (B)만 남으니, 6은 합이 될 수 없다.

제거됨: 5, 7, 8, 9 → 불가능한 합 = 6 → (B)

정답

왜 하필 합 6만 불가능할까? 6의 배수이려면 곱 안에 2의 배수와 3의 배수가 모두 들어 있어야 한다. 주사위에서 3의 배수는 3과 6뿐인데, 한쪽 눈이 6이면 다른 눈은 6 - 6 = 0이 되어야 해서 불가능하다. 한쪽 눈이 3이면 다른 눈은 6 - 3 = 3인데 곱 3 × 3 = 9에는 2의 배수 인수가 없다. 따라서 합이 6인 어떤 쌍도 2와 3을 동시에 공급할 수 없어, 경우 분석과 구조적 이유가 일치한다. 답 (B) 6은 옳다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 배수·약수 개념만 알면 풀 수 있어요!

6의 배수 조건을 두 조건으로 쪼개기
합 5 검사하기
합 6 검사하기
합 7 검사하기
합 8 검사하기
합 9 검사하기
남은 합 하나 고르기

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6의 배수 조건을 두 조건으로 쪼개기

합 5 검사하기

합 6 검사하기

합 7 검사하기

합 8 검사하기

합 9 검사하기

남은 합 하나 고르기

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