AMC 8 · 2010 · #7

학년 3 arithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search

systematic-enumerationmulti-digit-arithmeticpattern-recognition systematic-enumerationoptimization-counting ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

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문제

프레디는 미국 동전 — 페니(1¢), 니켈(5¢), 다임(10¢), 쿼터(25¢) — 만 모아 둡니다. 1¢ 부터 99¢ 까지 모든 금액을 갖고 있는 동전들로 정확히 지불할 수 있어야 하며, 그렇게 하기 위한 동전의 최소 개수가 얼마인지 구하는 문제입니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 더 쉬운 관련 문제 풀기

199¢ 전체 범위를 한 번에 보면 막막하니까 도구 #9(더 쉬운 관련 문제 풀기)로 1¢ 부터 24¢ 까지의 더 작은 범위를 먼저 해결합니다 — 그러면 작은 동전들의 개수가 정해집니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)는 그 안에서 5의 배수(5, 10, 15, 20)를 적고 어떤 {니켈, 다임} 조합이 각 값을 만드는지 확인하는 데 씁니다. 그 다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 큰 금액을 다룹니다 — 024¢ 가 해결된 뒤에는 쿼터 하나가 범위를 +25¢ 만큼 늘려 주므로 쿼터 3 개로 99¢ 까지 닿습니다. 마지막으로 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 선택지를 점검합니다 — (A) 6 은 너무 적고, (C) 15 · (D) 25 는 낭비라 답 후보는 10 근처로 좁혀집니다.

1STEP 1

쉬운 경우 먼저 — 일의 자리 0~4 는 페니로만 채우므로 페니 4 개가 필요합니다.

필요한 페니 = 4 개 (5의 배수 위에 1¢, 2¢, 3¢, 4¢ 를 얹기 위함)

2STEP 2

5 의 배수 5·10·15·20¢ 는 니켈 1 개와 다임 2 개로 모두 만듭니다.

니켈 = 1, 다임 = 2 → {5, 10, 15, 20} ¢ 모두 커버

3STEP 3

소계: 4 + 1 + 2 = 7 개로 0¢ 부터 24¢ 까지 모두 만들 수 있습니다.

4 + 1 + 2 = 7 개 → 0~24¢ 모두 커버

4STEP 4

쿼터 하나가 범위를 25¢ 씩 올려 주므로 쿼터 3 개면 99¢ 까지 닿습니다.

필요한 쿼터 = 3 개 → 0~99¢ 모두 커버

5STEP 5

모두 더하면 4 + 1 + 2 + 3 = 10 개, 선택지 (B) 와 일치합니다.

4 페니 + 1 니켈 + 2 다임 + 3 쿼터 = 4 + 1 + 2 + 3 = 10 개 → (B)

정답

몇 가지 금액으로 확인해 봅시다. 7¢ = 니켈 1 + 페니 2. 38¢ = 쿼터 1 + 다임 1 + 페니 3. 99¢ = 쿼터 3 + 다임 2 + 페니 4 — 모음의 모든 동전을 한 번에 다 쓰므로 어떤 동전도 뺄 수 없습니다. 페니 하나를 빼면 4¢ 가 깨지고, 니켈을 빼면 5¢ 가 깨지고(니켈 없이 5¢ 를 만들려면 페니 5 개가 필요해 오히려 늘어남), 다임을 빼면 20¢ 가 깨지고, 쿼터를 빼면 75¢ 이상이 깨집니다. 따라서 10 이 정확히 최소이고 답은 (B) 입니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 3학년 수준의 사고만 있으면 풀려요 — 페니·니켈·다임으로 0~24¢ 의 쉬운 부분을 먼저 해결하고, 나머지는 쿼터에게 맡기면 끝!

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