경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2010 · #9

학년 6 rate-ratio

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Weighted Group Aggregation

percentagefraction-arithmeticratio-proportion identify-subproblems ↑ 선수 지식: percentagemulti-digit-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

라이언은 시험을 세 번 봤습니다. 25 문제짜리 시험에서 80%, 40 문제짜리 시험에서 90%, 10 문제짜리 시험에서 70% 를 맞혔습니다. 세 시험의 모든 문제 75 개를 하나로 합쳤을 때, 전체 정답률은 몇 퍼센트일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

세 시험은 서로 독립된 작은 문제(도구 #7)입니다. 각 시험에서 퍼센트를 "맞힌 문제 수" 라는 실제 개수로 바꿔 둡니다. 세 개의 수가 같은 단위("문제 개수")로 통일되면 더해서 전체와 비교할 수 있습니다. 도구 #8(단위 살펴보기)은 세 퍼센트를 그대로 평균 내면 안 된다는 점을 일깨워 줍니다 — "퍼센트"는 비율이라 개수처럼 더할 수 없기 때문에 (80 + 90 + 70)/3은 의미가 없습니다. 먼저 "문제 개수" 라는 공통 단위로 옮긴 다음, 마지막에 다시 퍼센트로 돌아옵니다.

1STEP 1

1차 시험 정답 수 세기

작은 문제 1: 25 문제의 80% 를 구하면 시험 1 에서 20 문제 정답.

0.80 × 25 = 20 문제 정답

2STEP 2

2차 시험 정답 수 세기

작은 문제 2: 40 문제의 90% 를 구하면 시험 2 에서 36 문제 정답.

0.90 × 40 = 36 문제 정답

3STEP 3

3차 시험 정답 수 세기

작은 문제 3: 10 문제의 70% 를 구하면 시험 3 에서 7 문제 정답.

0.70 × 10 = 7 문제 정답

4STEP 4

정답 수와 전체 문항 더하기

이제 셋 다 같은 단위이니 더하면 63 문제 정답, 전체 75 문제.

정답 = 20 + 36 + 7 = 63, 전체 = 25 + 40 + 10 = 75

개수끼리 더하는 게 가능한 건 미리 퍼센트를 같은 단위로 바꿔 뒀기 때문이에요 — 이게 도구 #8의 단위 점검 동작입니다.

라이언의 세 시험 결과는 하나의 75문제 묶음 중 63문제 정답으로 합쳐지며, 전체 점수는 바로 이 합친 총계로 만들어진다 — 80%, 90%, 70%의 평균이 아니다.

▸ 왜?

세 시험의 정답들은 서로 겹치지 않는 세 무리의 맞은 문제이므로, 20, 36, 7을 더하면 맞은 문제 전체 개수인 63이 된다.

▸ 왜?

겹치지도 빈틈도 없이 조각내면 그 부분들은 원래의 전체로 다시 더해진다.

전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.

▸ 왜?

세 시험의 문제 수도 마찬가지로 하나의 75문제 묶음의 겹치지 않는 부분들이므로, 25, 40, 10을 더하면 전체인 75가 된다.

▸ 왜?

그 묶음은 세 시험을 나란히 놓은 것으로 공유도 누락도 없으므로, 각 크기를 더하면 묶음 전체의 크기가 된다.

전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.

▸ 왜?

각 시험의 정답 개수는 먼저 그 백분율에서 구해야 한다. 백분율만으로는 아직 문제 개수가 아니기 때문이다: 25의 80%는 20, 40의 90%는 36, 10의 70%는 7이다.

▸ 왜?

퍼센트는 그저 100당 개수다: 80%는 100 중 80을 뜻하므로, 25의 80%는 25의 80/100이고, 이는 정수 20에 딱 떨어진다.

퍼센트는 100분의 목p%는 100 중 p를 뜻하므로, 어떤 양의 p%는 그 양의 (p/100)배이다.

▸ 왜?

80%, 90%, 70%를 평균 내면 세 시험을 똑같이 중요하게 다루는 셈이지만, 40문제 시험은 10문제 시험보다 네 배 많은 문제를 묶음에 쏟아 넣으므로 더 큰 비중을 가져야 한다.

▸ 왜?

모든 문제는 전체 묶음에 한 번씩 세어지므로, 문제가 더 많은 시험은 그 전체에서 더 큰 부분이 되어 전체 비율을 자기 점수 쪽으로 끌어당긴다.

전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.

4.NBT.B.4Analyze The Units

5STEP 5

비를 백분율로 바꾸기

합친 개수를 다시 퍼센트로: 75 문제 중 63은 84%.

63/75 = 63/75 × 4/4 = 252/300 = 0.84 = 84% → (D)

정답

세 퍼센트를 그대로 평균 내는 흔한 오답은

\frac{80 + 90 + 70}{3}

= 80%, 즉 선택지 (C) 인데, 이게 바로 출제자가 깔아둔 함정입니다. 정답 84% 가 80% 보다 높은 이유는 가장 큰 시험(40 문제)의 점수가 가장 높은 90% 라서 가중평균이 위로 끌려 올라가기 때문입니다. 최댓값 90% 와 최솟값 70% 사이에 있고 90% 쪽으로 기운 결과라 합리적입니다.

💡핵심 정리

시험마다 문항 수가 다르면 퍼센트를 그대로 평균 내면 안 돼요. 먼저 각 퍼센트를 "맞힌 문제 수" 로 바꿔 다 더한 다음 전체로 나눠야 합니다 — 6학년 퍼센트 추론 그대로예요.

1차 시험 정답 수 세기
2차 시험 정답 수 세기
3차 시험 정답 수 세기
정답 수와 전체 문항 더하기
비를 백분율로 바꾸기

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1차 시험 정답 수 세기

2차 시험 정답 수 세기

3차 시험 정답 수 세기

정답 수와 전체 문항 더하기

비를 백분율로 바꾸기

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