AMC 8 · 2011 · #13

학년 6 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Overlapping Translates

area-rectanglespercentage identify-subproblemsarea-difference ↑ 선수 지식: area-rectangles

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

한 변의 길이가 15 인 합동인 두 정사각형 ABCD 와 PQRS 가 겹쳐서 15 × 25 크기의 직사각형 AQRD 를 이룹니다. 색칠된 부분은 두 정사각형이 겹친 영역입니다. 직사각형 AQRD 의 넓이 중 몇 퍼센트가 색칠되어 있나요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

이 문제는 그림 자체가 핵심입니다. 한 변 15 인 정사각형 두 개를 가로로 슬라이드하여 합한 모양이 15 × 25 직사각형이 됩니다. 도구 #5(그림 그리기) — 또는 주어진 Asymptote 다이어그램을 꼼꼼히 읽기만 해도 — 겹친 부분이 높이는 정사각형 변과 같은 15, 가로는 미지수 w 인 직사각형임이 한눈에 잡힙니다. 도구 #11(대칭·구조 찾기)은 긴 변에 대한 포함·배제 아이디어를 깔끔하게 주는데, 두 정사각형이 가로로 합해서 15 + 15 = 30 을 차지해야 하지만 실제로는 25 만 덮으므로 차이 5 가 바로 두 번 덮인 겹친 가로 길이가 됩니다.

1STEP 1

직사각형의 크기 15 × 25 를 곱해 넓이 375 을 구합니다.

넓이(AQRD) = 25 × 15 = 375

2STEP 2

두 정사각형 모두 높이 15 를 채우므로 겹친 부분은 높이 15, 가로 w 인 직사각형입니다.

겹친 넓이 = w × 15

3STEP 3

두 정사각형을 나란히 놓으면 15+15=30 이지만 AQRD 는 25 뿐이라 겹친 가로는 5 입니다.

15 + 15 - w = 25 → w = 30 - 25 = 5

4STEP 4

겹친 부분의 가로 5 와 높이 15 를 곱해 넓이 75 을 구합니다.

겹친 넓이 = 5 × 15 = 75

5STEP 5

75 를 375 로 나누면 $\frac{1}{5}$ , 즉 20% — 답 (C) 입니다.

\frac{75}{375}

\frac{1}{5}

= 20% → (C)

정답

정합성 확인: 정사각형 하나의 넓이는 15 × 15 = 225 입니다. 두 정사각형의 합집합 넓이는 2 × 225 - 75 = 375 로 AQRD 의 넓이와 정확히 같습니다. 포함·배제 계산이 일관됩니다. 겹친 부분 75 가 전체 375 의

\frac{1}{5}

이고, 답 (C) = 20% 와 일치하며 (B) 18 과 (D) 24 는 배제됩니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 6학년 비율 추론만 알면 풀려요: 겹친 가로를 구한 뒤, 부분 대 전체 비를 퍼센트로 바꾸기만 하면 됩니다.

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