AMC 8 · 2011 · #15

학년 6 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Successive Multiplicative Steps

exponentsplace-valueprime-factorization pattern-recognitionidentify-subproblems ↑ 선수 지식: exponents

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

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문제

정수 4⁵ · 5¹⁰ 을 십진수로 적었을 때 자릿수가 몇 개인지 구합니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 관점 바꾸기

4⁵ · 5¹⁰ 을 그대로 계산하면 큰 수가 나오지만, 사실 밑 4 안에는 2 가 숨어 있습니다. 도구 #16(관점 바꾸기) 으로 4 = 2² 으로 다시 적으면 밑이 2 와 5 가 되고, 2 와 5 가 짝을 이루어 10 이 되므로 전체가 깔끔한 10 의 거듭제곱으로 정리됩니다. 그러면 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기) 가 자연스럽게 따라옵니다 — 4⁵ · 5¹⁰ 의 자릿수를 직접 세는 것보다 10¹⁰ 의 자릿수를 세는 것이 훨씬 쉽고, 10ⁿ 의 자릿수는 n+1 이라는 규칙도 이미 알고 있기 때문입니다.

1STEP 1

4 = 2² 이므로 거듭제곱의 거듭제곱 법칙으로 4⁵ = (2²)⁵ = 2¹⁰ 입니다.

4⁵ = (2²)⁵ = 2² · 5 = 2¹⁰

2STEP 2

이제 두 인수의 지수가 모두 10 이므로 2¹⁰ · 5¹⁰ = (2·5)¹⁰ = 10¹⁰ 입니다.

4⁵ · 5¹⁰ = 2¹⁰ · 5¹⁰ = (2 · 5)¹⁰ = 10¹⁰

3STEP 3

더 쉬운 질문으로 바꿉니다 — 10¹⁰ 의 자릿수. 규칙상 10ⁿ 의 자릿수는 n+1, 즉 1 뒤에 0 이 n 개입니다.

10¹⁰ = 100… 0₀ 이 10 개

4STEP 4

n = 10 을 넣으면 10¹⁰ 의 자릿수는 10 + 1 = 11 입니다.

10 + 1 = 11 → (D)

정답

크기 감각 점검: 4⁵ = 1024 (4 자리), 5¹⁰ = 9,765,625 (7 자리). 4 자리 수와 7 자리 수의 곱은 자릿수가 4 + 7 - 1 = 10 자리이거나 4 + 7 = 11 자리 둘 중 하나입니다. 앞자리끼리 곱하면 1.024 × 9.765… ≈ 10 으로 10¹⁰ 을 넘어가므로 큰 쪽인 11 자리가 맞고, 답 (D) 와 일치합니다. (A) 8, (B) 9 는 너무 작고, (E) 12 는 10¹¹ 보다 커야 하지만 그렇지 않습니다.

💡핵심 정리

지수가 같은 2 와 5 가 보이면 짝지어 10 으로 묶어 보세요 — 답이 10 의 거듭제곱으로 곧장 정리됩니다.

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