AMC 8 · 2011 · #17

학년 6 number-theory

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prime-factorizationexponents identify-subproblems ↑ 선수 지식: prime-factorization

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

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문제

정수 w, x, y, z 가 2^w · 3^x · 5^y · 7^z = 588 을 만족할 때, 2w + 3x + 5y + 7z 의 값을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

2w + 3x + 5y + 7z 는 네 개의 미지의 지수에 의존하므로, 문제는 깔끔한 두 개의 작은 문제로 나뉩니다(도구 #7): (1) 588 을 소인수분해하고, (2) 지수를 맞춰 w, x, y, z 를 읽어낸 뒤 대입합니다. 도구 #11(거꾸로 풀기)은 "곱 588 이 주어졌으니, 거꾸로 거슬러 올라가 지수를 복원한다" 는 흐름을 그대로 잡아 줍니다. 도구 #13(대수로 바꾸기)은 일부러 피합니다 — 식 변형이 필요 없고, 소인수를 뽑아 지수를 맞추는 것만으로 충분하기 때문입니다.

1STEP 1

588 에서 2 를 두 번, 147 에서 3 을 빼내면 49 = 7 · 7 이 남아 588 = 2² · 3¹ · 7² 입니다.

588 = 2 · 2 · 3 · 7 · 7 = 2² · 3¹ · 7²

2STEP 2

같은 밑끼리 지수를 읽습니다; 소인수 5 가 없으므로 y = 0, 그리고 w = 2, x = 1, z = 2.

w = 2, x = 1, y = 0, z = 2

3STEP 3

w = 2, x = 1, y = 0, z = 2 를 2w + 3x + 5y + 7z 에 대입하면 21 이 나옵니다.

2w + 3x + 5y + 7z = 2(2) + 3(1) + 5(0) + 7(2) = 4 + 3 + 0 + 14 = 21 → (A)

정답

소인수분해를 역으로 확인: 2² · 3 · 7² = 4 · 3 · 49 = 12 · 49 = 588. ✓ 지수들은 모두 작은 정수로, AMC 8 수준에 어울리는 크기입니다. 최종 값 21 은 다섯 선택지 중 가장 작은 값인데, 대부분의 지수가 0, 1, 2 로 매우 작으므로 합도 작게 나오는 것이 자연스럽습니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 정수 지수 — 588 을 소인수분해해서 지수를 읽고 대입하기 — 만 알면 풀 수 있어요!

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