경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2016 · #13

학년 7 probabilitycounting

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 At-Least-One Complement: 1 − P(None)

probability-basiccombinations-basicsystematic-enumeration systematic-enumerationcomplementary-counting ↑ 선수 지식: combinations-basicprobability-basic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

집합 {-2, -1, 0, 3, 4, 5} 에서 서로 다른 두 수를 무작위로 골라 곱했을 때, 그 곱이 0이 될 확률은 얼마일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\dfrac{1}{6}$

(B)

$\dfrac{1}{5}$

(C)

$\dfrac{1}{4}$

(D)

$\dfrac{1}{3}$

(E)

$\dfrac{1}{2}$

AMC 8 2016 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

집합이 6 개뿐이라 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 모든 쌍을 직접 적을 수 있습니다 — 공식 없이도 유리한 쌍과 전체 쌍을 손으로 셀 수 있죠. 그리고 곱이 0이 되는 조건은 매우 단순합니다: 쌍 안에 0이 들어 있을 때입니다. (0에 무엇을 곱해도 0이고, 나머지 수들끼리는 절대 0을 만들지 못합니다.) 도구 #16(여집합 세기)은 "0이 뽑히지 않을 확률" 을 구해서 1 에서 빼는 방식으로 답을 한 줄에 확인하게 해 줍니다.

1STEP 1

모든 쌍 나열하기

서로 다른 두 수의 (순서 없는) 쌍을, 앞 수를 뒤의 수와만 짝지어 빠짐없이 나열해요.

{-2,-1}, {-2,0}, {-2,3}, {-2,4}, {-2,5}, {-1,0}, {-1,3}, {-1,4}, {-1,5}, {0,3}, {0,4}, {0,5}, {3,4}, {3,5}, {4,5}

2STEP 2

전체 쌍 세기

목록의 쌍을 세면 표본 공간은 모두 15 쌍이에요.

5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 쌍

3STEP 3

곱이 0인 쌍 표시하기

곱이 0 이려면 한 인수가 0 이어야 하고 0은 하나뿐 — 유리한 쌍은 0을 포함한 5 쌍이에요.

{-2,0}, {-1,0}, {0,3}, {0,4}, {0,5} → 5 쌍

4STEP 4

확률 구해 약분하기

유리한 쌍을 전체로 나눠 약분하면 확률은 $\frac{1}{3}$ , 선택지 (D)예요.

P(곱 = 0) = 5/15 = 1/3 → (D)

정답

1/3

수가 6 개고 그중 0은 단 하나입니다. 6 개에서 2 개를 뽑을 때 특별한 수 0이 뽑힐 확률은

\frac{2}{6}

\frac{1}{3}

— 정확히 (D). 0이 여섯 중 하나이니 두 개를 뽑으면 약

\frac{1}{3}

확률로 등장한다는 것이 직관과도 잘 맞습니다.

💡핵심 정리

쌍을 빠짐없이 적고 0이 들어간 쌍만 골라 나누면 끝 — 7학년 확률만으로 이 AMC 8 문제를 풀 수 있어요.

모든 쌍 나열하기
전체 쌍 세기
곱이 0인 쌍 표시하기
확률 구해 약분하기

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모든 쌍 나열하기

전체 쌍 세기

곱이 0인 쌍 표시하기

확률 구해 약분하기

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