경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2011 · #21
학년 4 number-theory답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
세 개의 단순한 조건이 유한한 후보 집합을 차례로 잘라 내는 구조 — 도구 #3(가능성 지우기)이 가장 자연스러운 첫 수입니다. 도구 #2(체계적으로 나열하기)는 "1 만큼 차이" 단서로부터 짧은 후보 목록을 만드는 역할 — 추측 목록에서 차이가 정확히 2 인 쌍을 찾으면, 나이는 그 쌍의 한가운데에 있습니다. 그다음 "36 보다 커야 한다" 조건으로 작은 후보를 지우고, 마지막에 "소수" 조건으로 정답을 확정합니다. 대수도 필요 없이, 세 번의 필터만으로 끝납니다.
조건을 범위로 바꾸기
10의 절반은 5 이므로 작은 쪽 다섯 추측(24, 28, 30, 32, 36)이 모두 너무 작아야 하고, 나이는 36 보다 크다.
10의 절반을 구하고 작은 쪽 다섯 개를 세는 것은 3학년 곱셈·나눗셈 수준의 추론입니다.
3.OA.A.3Eliminate Possibilities한 살 차 나이 나열하기
x-1과 x+1이 모두 목록에 있어야 하므로 차이가 2 인 쌍을 찾으면, 후보는 29, 31, 37, 48.
"x-1, x+1이 모두 목록에 있는" 후보를 빠짐없이 적어 두는 것이 도구 #2의 핵심 동작입니다.
노브의 나이는 정확히 2만큼 차이 나는 두 추측 중 작은 수보다 1 큰 수여야 한다.
▸ 왜?
단서에 따르면 한 추측은 그의 나이보다 1 작고 다른 추측은 1 크므로, 작은 추측에서 큰 추측까지의 거리는 한 걸음에 또 한 걸음, 곧 2만큼의 간격이다.
▸ 왜?
그 2만큼의 간격은 아래쪽 부분과 위쪽 부분을 겹침도 빠짐도 없이 이어 붙인 것이라, 두 번의 한 걸음이 전체 간격으로 더해진다.
▸ 왜?
작은 추측은 그의 나이에서 1을 뺀 값이므로 그 1을 다시 더하면 정확히 나이가 되고, 그래서 나이는 두 추측의 한가운데에 놓인다.
▸ 왜?
1을 빼서 작은 추측을 만들었으니, 다시 1을 더하면 그 뺀 것을 되돌려 처음 시작한 바로 그 수로 돌아온다.
두 조건 합치기
후보에 '36 보다 크다' 조건을 걸면 29와 31이 지워지고 37과 48 이 남습니다.
여러 자리 자연수를 기준값과 비교해 거르는 것은 4학년 자릿값 비교 그대로입니다.
4.NBT.A.2Eliminate Possibilities소수인지 확인하기
37은 소수지만 48 = 2 × 24는 합성수이므로 소수 단서로는 37 만 남습니다.
100 이하의 수가 소수인지 합성수인지 판단하는 것은 4학년 "인수쌍·소수/합성수" 표준 그대로입니다.
4.OA.B.4Eliminate Possibilities나이 읽기
노브의 나이는 37 살, 즉 선택지 (C)입니다.
세 번의 필터를 거쳐 한 후보가 남으면 그것이 곧 정답 — 도구 #3의 가장 깔끔한 마무리입니다.
4.OA.A.3Eliminate Possibilities이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 "소수인지 합성수인지" 판단과 "36 보다 큰가?" 같은 크기 비교만 알면 풀 수 있어요!
- 조건을 범위로 바꾸기
- 한 살 차 나이 나열하기
- 두 조건 합치기
- 소수인지 확인하기
- 나이 읽기
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