경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2020 · #19
학년 4 number-theorycounting답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
"15의 배수" 라는 조건은 성격이 다른 두 작은 조건 — 5의 배수(끝자리 규칙)와 3의 배수(자릿수 합 규칙) — 로 깔끔하게 쪼개집니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)을 쓰면 한 자리씩 차근차근 결정할 수 있습니다 — 5 규칙으로 a 값이 정해지고, 이어서 3 규칙으로 b 의 후보가 좁혀집니다. 두 자리가 모두 제한된 뒤에는 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 남은 후보 수들을 차례로 적고 세면 끝입니다. 도구 #13(대수로 바꾸기)은 일부러 피했습니다 — 배수 판정법과 나열만으로 식 없이 풀립니다.
번갈아 수의 꼴 쓰기
다섯 자리 플리피 수는 ababa 꼴이어야 합니다 — 1, 3, 5번째는 a, 2, 4번째는 b, 그리고 a ≠ 0, a ≠ b.
여러 자리 수를 자릿값 자리별로 읽고 적는 것은 4학년 "여러 자리 수 읽고 쓰기" 그대로입니다.
4.NBT.A.2Identify Subproblems5의 배수 조건 쓰기
5의 배수는 끝자리가 0 또는 5여야 하는데, 끝자리 a가 0이 아니므로 a = 5, 수는 5b5b5 꼴 (b ≠ 5).
5의 배수를 끝자리로 알아보는 것은 4학년 "약수와 배수" 단원의 기본 판정법입니다.
4.OA.B.4Identify Subproblems3의 배수 조건 쓰기
5b5b5의 자릿수 합은 15 + 2b인데, 15가 이미 3의 배수이므로 2b만 3의 배수이면 됩니다.
"자릿수의 합이 3의 배수" 라는 규칙은 4학년 약수·배수 단원에서 배우는 표준 3의 배수 판정법입니다.
수 5b5b5 는 자릿수의 합 15 + 2b 가 3의 배수일 때에만 3의 배수이다.
▸ 왜?
자리값으로 풀어 쓰면 5b5b5 는 5 · 10000 + b · 1000 + 5 · 100 + b · 10 + 5 이고, 이 수를 3으로 나눈 나머지는 자릿수의 합 15 + 2b 를 3으로 나눈 나머지와 같다.
▸ 왜?
이 수는 각 자릿수에 그 자리값을 곱해 모두 더한 것과 정확히 같은데, 위 자리는 언제나 바로 아래 자리 열 개를 묶은 것이기 때문이다.
▸ 왜?
모든 자리값은 3의 배수보다 딱 1 크다: 10 = 9 + 1, 100 = 99 + 1, 10000 = 9999 + 1 이며, 9, 99, 9999 는 각각 3의 같은 묶음 여러 개이기 때문이다(예를 들어 99 는 3의 묶음 33개).
▸ 왜?
그래서 각 자릿수에 자리값을 곱한 것은 자릿수 곱하기 3의 배수에 자릿수 곱하기 1을 더한 것으로 나뉘고, 결국 수는 하나의 큰 3의 배수에 자릿수의 합 15 + 2b 를 더한 꼴이 된다.
▸ 왜?
그 큰 3의 배수는 떨어져 나간다: 이 수는 3의 배수인 부분과 자릿수 합 부분이 빈틈도 겹침도 없이 붙은 것이므로, 전체가 3의 배수인지는 오직 자릿수 합 부분이 3의 배수인지에 달려 있다.
가능한 숫자 b 찾기
2b가 3의 배수가 되려면 b가 3의 배수여야 하므로 b ∈ {0, 3, 6, 9}, 모두 b ≠ 5를 만족합니다.
한 자리 3의 배수를 나열하는 것은 4학년 배수 개념 그대로의 단순 적용입니다.
4.OA.B.4Identify Subproblems가능한 수 모두 나열하기
차례로 적으면 50505, 53535, 56565, 59595 — 15의 배수인 플리피 수는 4개, 곧 선택지 (B).
"각 b 마다 5b5b5" 라는 규칙으로 빠짐없이 수를 만들어 세는 것은 4학년 "주어진 규칙에 따라 수의 패턴 만들기" 표준에 정확히 들어맞습니다.
4.OA.C.5Make A Systematic List이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 배수 판정법 — 5의 배수는 "끝자리가 0 또는 5", 3의 배수는 "자릿수의 합이 3의 배수" — 만 알면 풀 수 있어요!
- 번갈아 수의 꼴 쓰기
- 5의 배수 조건 쓰기
- 3의 배수 조건 쓰기
- 가능한 숫자 b 찾기
- 가능한 수 모두 나열하기
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