경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2017 · #23
학년 4 rate-rationumber-theory답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
거리가 자연수여야 한다는 조건 때문에 마일당 시간은 반드시 60의 약수여야 합니다. 60의 약수는 총 12 개밖에 안 되므로, 먼저 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 약수를 빠짐없이 적고, 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 m₁ = 1, 2, 3, … 을 차례대로 대입하며 "m₁, m₁+5, m₁+10, m₁+15가 모두 약수에 속하는가?" 를 확인합니다. 도구 #8(단위 살펴보기)은 거리 = (60 분)/(m 분/마일)의 단위가 "마일" 로 깔끔히 떨어지는지 보장해 줍니다.
하루 거리 식 세우기
60 분 동안 마일당 m 분이면 60/m 마일을 가므로, m 은 60의 약수여야 합니다.
분 ÷ (분/마일) 에서 "분" 이 약분되고 "마일" 만 남는 것은 4학년 거리·시간 문장제 그대로입니다.
4.MD.A.2Analyze The Units60의 약수 나열하기
60의 약수를 작은 수부터 모두 적습니다 — 네 페이스가 가질 수 있는 후보는 이것뿐입니다.
60의 약수쌍을 빠짐없이 나열하는 것은 4학년 약수 찾기 표준이며, 시스템적 나열로 빠뜨림을 막습니다.
4.OA.B.4Make A Systematic List속도 후보 검사하기
m₁ = 1, 2, 3 … 을 차례로 시험하면, 공차 5로 네 항이 모두 60의 약수가 되는 경우는 m₁ = 5 뿐입니다.
"+5 규칙" 으로 수열을 만들고 각 항이 60의 약수인지 확인하는 일은 4학년 "규칙을 따라 수 패턴 만들기" 그 자체입니다.
네 날 모두 이동 거리가 정수 마일이 되게 하는 첫날 1마일당 시간은 5분뿐이며, 이 때문에 네 날의 속도는 5, 10, 15, 20분/마일로 정해진다.
▸ 왜?
하루 이동 거리는 정해진 60분의 걷기를 그날의 1마일당 시간으로 나눈 값이므로, 그날이 정수 마일이 되려면 그 속도가 60을 남김없이 나누어야 한다.
▸ 왜?
한 시간 걷기는 매일 똑같은 60분이므로, 매일 마일마다 나누어 줄 시간은 동일하게 고정된 60분에서 출발한다.
▸ 왜?
60분을 마일마다 같은 크기로 나누는 것은 같은 크기 조각을 쌓아 60을 다시 만드는 일의 역이므로, 그 속도가 60에 정수 번 들어맞을 때만 결과가 정수로 떨어진다.
▸ 왜?
속도가 매일 5분씩 고정으로 늘어나므로 네 속도는 5만큼 떨어진 60의 약수 넷이며, 약수 목록 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 위로 네 칸짜리 창을 밀어 보면 목록 안에 온전히 남는 묶음은 5, 10, 15, 20뿐이다 — 그래서 첫 속도는 5일 수밖에 없다.
▸ 왜?
5, 10, 15, 20은 저마다 60을 정확히 나눈다. 60은 5가 열둘, 10이 여섯, 15가 넷, 20이 셋이기 때문이며, 그래서 그 네 날 모두 정수 마일이 된다.
속도마다 거리로 바꾸기
m₁ = 5이면 페이스 5, 10, 15, 20 분/마일은 매일 거리 12, 6, 4, 3 마일이 됩니다.
60을 한 자리·두 자리 약수로 나누는 것은 3학년 "100 이내의 곱셈·나눗셈 유창성" 입니다.
3.OA.C.7Analyze The Units네 거리 더하기
네 거리를 더하면 12 + 6 + 4 + 3 = 25 마일 → (C).
작은 자연수 네 개를 더하는 것은 4학년 "여러 자릿수 덧셈 유창성" 표준입니다.
4.NBT.B.4Analyze The Units이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 약수 찾기와 규칙대로 수열 만들기만 알면 풀 수 있어요!
- 하루 거리 식 세우기
- 60의 약수 나열하기
- 속도 후보 검사하기
- 속도마다 거리로 바꾸기
- 네 거리 더하기
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