AMC 8 · 2011 · #25

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Nested Frame / Concentric Difference

area-circlesarea-rectanglesestimation identify-subproblemsarea-difference ↑ 선수 지식: area-circlesarea-rectangles

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

반지름 1 인 원이 큰 정사각형 안에 내접하고(네 변에 모두 닿음), 작은 정사각형 밖에 외접합니다(작은 정사각형의 네 꼭짓점이 원 위에 있음). 그림에는 색칠된 부분이 두 군데입니다 — 원 안에서 작은 정사각형을 뺀 부분, 그리고 큰 정사각형 안에서 원을 뺀 부분. 우리는 (원 안의 색칠된 넓이) : (두 정사각형 사이의 넓이) 비율을 구하고, 그 값에 가장 가까운 선택지를 골라야 합니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}2$

(B)

(C)

$\frac{3}2$

(D)

(E)

$\frac{5}2$

AMC 8 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

그림에 세 도형 — 큰 정사각형, 원, 작은 정사각형 — 이 겹쳐 있으니, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 넓이 세 개를 따로따로 구한 뒤 비율로 합치는 게 깔끔합니다. 도구 #1(그림 그리기)은 문제에 이미 들어 있어서, 원의 지름이 큰 정사각형의 한 변이고 작은 정사각형의 대각선이라는 사실만 그림에서 읽어 내면 모든 길이가 따라옵니다. 마지막에 비율을 계산하고 나면 도구 #3(가능성 지우기)으로 다섯 선택지 중 가장 가까운 값을 골라 마무리합니다.

1STEP 1

큰 정사각형에 내접한 원 → 한 변 = 지름 2. 원에 내접한 작은 정사각형 → 대각선도 2.

큰 정사각형의 한 변 = 2, 작은 정사각형의 대각선 = 2

2STEP 2

작은 문제 1 — 큰 정사각형 넓이는 한 변의 제곱: 2² = 4.

A_큰 = 2² = 4

3STEP 3

작은 문제 2 — 작은 정사각형을 대각선으로 가르면 s√2 = 2, 곧 넓이 s² = 2.

s√(2) = 2 → s² =

\frac{2²}{2}

= 2, A_작은 = s² = 2

4STEP 4

작은 문제 3 — 원의 넓이는 πr², r = 1 이므로 그냥 π.

A_원 = π r² = π (1)² = π

5STEP 5

원의 색칠 부분 = 원 − 작은 정사각형 = π - 2; 정사각형 사이 = 큰 − 작은 = 2.

원 안의 색칠 = π - 2, 정사각형 사이 = 4 - 2 = 2

6STEP 6

비율을 세우고 π ≈ 3.14 로 어림: $\frac{(π - 2)}{2}$ ≈ $\frac{(3.14 - 2)}{2}$ = 0.57.

\frac{(π - 2)}{2}

≈

\frac{(3.14 - 2)}{2}

\frac{1.14}{2}

= 0.57

7STEP 7

0.57 은 0.5 (차이 0.07) 에 가장 가깝고 1 (차이 0.43) 보다 가까우며 나머지는 더 멀어, 가장 가까운 선택지는 $\frac{1}{2}$ .

(A) 0.5, (B) 1, (C) 1.5, (D) 2, (E) 2.5 → (A)

\frac{1}{2}

정답

\frac{1}{2}

크기 감각으로 확인해 봅시다. 원의 넓이 π ≈ 3.14 는 작은 정사각형(2)보다 약간 크고 큰 정사각형(4)보다 작아서 그림과 정확히 들어맞습니다. 원 안의 색칠된 "초승달 4개"의 합은 약 1.14 이고, 정사각형 사이의 모서리 "4조각"의 합은 2 이므로, 원 안의 색칠은 정사각형 사이 넓이의 약 절반 —

\frac{1}{2}

과 들어맞습니다.

💡핵심 정리

세 도형을 따로 떼서 3-8학년 넓이 공식 세 개로 풀고, π ≈ 3.14 로 비율을 어림하면 가장 가까운 선택지 하나가 바로 골라집니다.

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