경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2011 · #4

학년 6 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Weighted Group Aggregation

mean-median-mode-rangefraction-arithmetic identify-subproblems ↑ 선수 지식: fraction-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

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문제

타일러가 아홉 번 낚시를 가서 잡은 물고기 수가 2, 0, 1, 3, 0, 3, 3, 1, 2 입니다. 이 자료의 평균, 중앙값, 최빈값을 구해서 세 값의 대소 관계를 올바르게 나타낸 부등식을 고르세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

median < mean < mode

(B)

mean < mode < median

(C)

mean < median < mode

(D)

median < mode < mean

(E)

mode < median < mean

AMC 8 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

묻는 것은 "순서" 하나지만, 깔끔하게 답하려면 평균·중앙값·최빈값 세 개를 따로 구해야 합니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 셋을 하나씩 계산한 다음 마지막에 세 수를 비교합니다. 도구 #2(다시 배열하기)는 미리 자료를 작은 값부터 큰 값까지 정렬해 두면 중앙값과 최빈값이 한눈에 보이게 해 주는 준비 작업입니다.

1STEP 1

아홉 개 값 정렬하기

아홉 개의 값을 작은 값부터 큰 값까지 정렬하면 중앙값과 최빈값을 목록에서 바로 읽을 수 있습니다.

{2, 0, 1, 3, 0, 3, 3, 1, 2} ⟶ {0, 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3}

2STEP 2

평균 구하기

아홉 개 값을 더한 15를 9로 나누면 평균은 $\frac{5}{3}$ ≈ 1.67 입니다.

평균 = (0+0+1+1+2+2+3+3+3)/9 = 15/9 = 5/3 ≈ 1.67

3STEP 3

중앙값 구하기

정렬한 아홉 값에서 중앙값은 한가운데 5 번째 값이므로 중앙값 = 2 입니다.

정렬: 0, 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3 → 중앙값 = 2

4STEP 4

최빈값 구하기

각 값이 몇 번 나오는지 세면 3이 세 번으로 가장 많으므로 최빈값 = 3 입니다.

도수: 0{:} 2, 1{:} 2, 2{:} 2, 3{:} 3 → 최빈값 = 3

5STEP 5

세 값 크기 비교하기

세 값을 줄 세우면 $\frac{5}{3}$ ≈ 1.67, 그다음 2, 그다음 3 이므로 정답은 (C) 입니다.

15/9 ＜ 2 ＜ 3 ⟺ 평균 ＜ 중앙값 ＜ 최빈값 → (C)

15/9를 15 ÷ 9 = 1.67로 해석해 2 보다 작음을 확인하는 것은 5학년 "분수를 나눗셈으로 보기" 표준입니다.

각 대푯값을 구하고 나면 평균은 중앙값보다 아래에, 중앙값은 최빈값보다 아래에 놓인다.

▸ 왜?

평균은 15/9로, 중앙값인 2보다 작다.

▸ 왜?

평균은 잡은 물고기 전체 15마리를 9번의 낚시에 똑같이 나눈 것이므로 15 ÷ 9이다.

▸ 왜?

아홉 번의 낚시 결과를 한 마리도 겹치거나 빠뜨리지 않고 모두 더하면 나눌 대상인 전체 15가 된다.

전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.

▸ 왜?

그 전체를 9개의 같은 몫으로 나누는 것은 9개의 같은 묶음을 만드는 일을 거꾸로 한 것이라 곧 9로 나누는 것이다.

역연산뺄셈은 덧셈을, 나눗셈은 곱셈을 되돌린다 — 서로를 거꾸로 한다.

▸ 왜?

2씩 9묶음이면 18마리가 필요하지만 잡은 것은 15마리뿐이라 한 몫은 2보다 작을 수밖에 없다.

곱셈은 같은 크기 묶음a 곱하기 b는 b가 든 같은 묶음 a개 — 같은 양을 반복해서 더하는 것이다.

▸ 왜?

중앙값은 2, 최빈값은 3으로 나오고, 2는 3보다 작다.

▸ 왜?

정렬한 아홉 값에서 중앙값은 한가운데 값인 다섯째 값이며, 그 값은 2이다.

▸ 왜?

한가운데 왼쪽 네 값을 오른쪽 네 값과 하나씩 짝지으면 딱 맞아떨어지고 가운데에 값 하나만 홀로 남는다.

일대일 대응여기 있는 것 하나가 저기 있는 것 하나와 딱 짝지어지면 두 무리의 크기는 같다.

▸ 왜?

최빈값이 3인 까닭은 값 3은 세 번의 낚시에서 나오고 다른 값은 각각 두 번뿐이라 3이 가장 자주 나오기 때문이다.

▸ 왜?

3을 잡은 낚시들을 다른 한 값을 잡은 낚시들과 짝지으면 언제나 3 하나가 짝 없이 남아, 3의 무리가 더 크다.

일대일 대응여기 있는 것 하나가 저기 있는 것 하나와 딱 짝지어지면 두 무리의 크기는 같다.

5.NF.B.3Identify Subproblems

정답

평균 ＜ 중앙값 ＜ 최빈값

감을 잡아 봅시다: 자료에는 큰 값인 3이 세 번 몰려 있어 최빈값을 3으로 끌어올리고, 작은 값 0과 1이 평균을 끌어내립니다. 그래서 "최빈값 ＞ 중앙값 ＞ 평균" 이 예상되는데, 그게 바로 (C)입니다. 또 평균

\frac{15}{9}

≈ 1.67은 자료의 최솟값 0과 최댓값 3 사이에 들어가 있어 평균의 일반 성질과도 맞습니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 6학년 때 배운 평균·중앙값·최빈값을 각각 구한 뒤 줄 세우기만 하면 풀 수 있어요.

아홉 개 값 정렬하기
평균 구하기
중앙값 구하기
최빈값 구하기
세 값 크기 비교하기

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아홉 개 값 정렬하기

평균 구하기

중앙값 구하기

최빈값 구하기

세 값 크기 비교하기

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