AMC 8 · 2011 · #6

학년 4 arithmetic

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Two-Set Inclusion-Exclusion: Solve for Missing Region

set-partitioncomplementary-counting complementary-countingidentify-subproblems ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

어떤 마을에 어른이 351 명 있고, 어른은 모두 자동차, 오토바이, 또는 둘 다를 가지고 있습니다. 자동차를 가진 어른은 331 명, 오토바이를 가진 어른은 45 명입니다. 자동차를 가진 어른 중에서 오토바이를 가지지 않은 사람은 몇 명일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

306

(E)

351

AMC 8 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 벤 다이어그램 그리기

"자동차, 오토바이, 또는 둘 다" 와 "오토바이를 가지지 않은" 같은 표현은 곧바로 도구 #12(벤 다이어그램)를 가리킵니다. 자동차 원과 오토바이 원을 겹치게 그리면, 모든 어른이 적어도 하나를 가진다는 조건은 두 원이 어른 351 명 전체를 덮는다는 뜻 — 즉 "둘 다 안 가짐" 영역은 없습니다. "자동차는 있지만 오토바이는 없는" 영역은 자동차 원의 왼쪽 조각인데, 이걸 바로 세는 대신 겹치는 부분(둘 다 소유)을 먼저 구한 뒤 자동차 전체에서 빼는 — 정확히 도구 #16(여집합 세기) 의 발상으로 풀면 깔끔합니다.

1STEP 1

자동차 원 C, 오토바이 원 M 을 겹쳐 그립니다. 모두 하나는 가지므로 C ∪ M 에 351 명이 다 들어갑니다.

|C ∪ M| = 351, |C| = 331, |M| = 45

2STEP 2

두 인원을 더하면 둘 다인 사람이 두 번 세어지니, 겹침은 331 + 45 - 351 = 25 명입니다.

|C ∩ M| = |C| + |M| - |C ∪ M| = 331 + 45 - 351 = 25

3STEP 3

여집합으로 봅니다. 자동차 전체에서 겹침을 빼면 오토바이 없는 자동차 소유자: 331 - 25 = 306 명.

|C ∖ M| = |C| - |C ∩ M| = 331 - 25 = 306

4STEP 4

306 은 선택지 (D) 입니다.

306 → (D)

정답

306

벤 다이어그램의 세 영역을 다 채워서 확인합시다. 자동차만 = 306, 둘 다 = 25, 오토바이만 = 45 - 25 = 20. 합 = 306 + 25 + 20 = 351 로 전체 인원과 정확히 일치합니다. 자동차 소유자 331 명에 비해 오토바이 소유자 45 명은 훨씬 적으니, 대부분의 어른은 자동차만 갖고 있을 것이고 답 306 의 크기도 자연스럽습니다.

💡핵심 정리

사실 이 AMC 8 문제는 4학년 벤 다이어그램 문제예요. 겹치는 부분을 먼저 구하고 자동차 원에서 빼면 끝!

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