경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2011 · #7

학년 6 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

area-rectanglesarea-trianglesfraction-arithmetic identify-subproblemsarea-difference ↑ 선수 지식: fraction-arithmeticarea-rectangles

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

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문제

합동인 큰 정사각형 4 개가 각각 합동인 삼각형이나 직사각형으로 잘려 있고, 각 정사각형 안의 일부 조각이 굵은 선으로 그려져 있습니다. 네 정사각형 전체를 한 덩어리로 봤을 때, 굵게 표시된 부분은 전체 넓이의 몇 퍼센트일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$12\frac{1}{2}$

(B)

(C)

(D)

$33\frac{1}{3}$

(E)

$37\frac{1}{2}$

AMC 8 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

문제 자체가 시각적이므로 도구 #1(그림 그리기)이 가장 자연스러운 선두입니다 — 정사각형을 하나씩 다시 그려 분할선을 표시하고 굵게 표시된 조각을 색칠하면 그것이 차지하는 분수가 한눈에 보입니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 네 정사각형을 한꺼번에 다루는 대신 하나씩 처리하게 해 줍니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)는 정리용 트릭으로, 한 큰 정사각형의 변을 1로 두면 정사각형 하나의 넓이는 1, 전체 넓이는 4가 되어 변수 없이 모든 굵은 조각이 간단한 분수로 표현됩니다.

1STEP 1

한 정사각형 넓이를 1로 두기

큰 정사각형 하나의 넓이를 1로 두면 네 정사각형의 전체 넓이는 4 입니다.

한 큰 정사각형 넓이 = 1, 전체 넓이 = 4

2STEP 2

왼쪽 위 정사각형 재기

왼쪽 위: 세로로 4 등분한 띠 중 1 개가 굵으므로 굵은 부분은 정사각형의 $\frac{1}{4}$ 입니다.

굵은 부분_좌상 = 1/4 × 1 = 1/4

3STEP 3

오른쪽 위 정사각형 재기

오른쪽 위: 오른쪽 위 사분면( $\frac{1}{4}$ )을 대각선으로 반 자른 삼각형이므로 굵은 부분은 $\frac{1}{8}$ 입니다.

굵은 부분_우상 = 1/2 × 1/4 = 1/8

4STEP 4

왼쪽 아래 정사각형 재기

왼쪽 아래: 굵은 영역을 $\frac{1}{4}$ 사분면과 그 위 $\frac{1}{8}$ 삼각형으로 쪼개면 합은 $\frac{3}{8}$ 입니다.

굵은 부분_좌하 = 1/4 + 1/8 = 2/8 + 1/8 = 3/8

도구 #7: 들쑥날쑥한 영역을 정사각형 + 삼각형으로 쪼개면, 어려운 한 넓이가 쉬운 두 넓이가 됩니다.

왼쪽 아래 정사각형에서 굵게 표시된 영역은 그 정사각형 한 개 넓이의 8분의 3을 차지한다.

▸ 왜?

굵게 표시된 윤곽은 빈틈도 겹침도 없이 두 개의 간단한 조각 — 왼쪽 아래 사분(4분의 1)정사각형과 그 위쪽 변에 얹힌 직각삼각형 — 으로 나뉘므로, 그 넓이는 사분정사각형의 넓이와 삼각형의 넓이를 더한 것이다.

▸ 왜?

빈틈도 겹침도 없이 조각으로 나뉜 영역의 넓이는 그 조각들을 더한 것과 정확히 같다.

전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.

▸ 왜?

왼쪽 아래 사분정사각형은 큰 정사각형을 빈틈없이 채우는 네 개의 합동인 사분정사각형 중 하나이므로, 넓이의 4분의 1, 즉 8분의 2를 차지한다.

▸ 왜?

네 개의 사분정사각형은 서로의 합동인 복사본이므로 모두 넓이가 같다.

강체운동은 길이와 각을 보존한다밀기·돌리기·뒤집기는 도형을 복사본에 딱 포개므로 모든 길이와 각이 그대로 같다(접기는 뒤집기의 경우).

▸ 왜?

빈틈도 겹침도 없이 정사각형 전체를 채우는 네 개의 같은 부분은 다시 더하면 전체가 되므로, 각 한 부분은 전체의 4분의 1이다.

전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.

▸ 왜?

그 삼각형은 사분정사각형의 정확히 절반이며, 4분의 1의 절반은 8분의 1이다.

▸ 왜?

삼각형의 빗변은 그 사분정사각형을 두 개의 합동인 직각삼각형으로 자르는 대각선이므로, 각 삼각형은 사분정사각형의 절반이다.

강체운동은 길이와 각을 보존한다밀기·돌리기·뒤집기는 도형을 복사본에 딱 포개므로 모든 길이와 각이 그대로 같다(접기는 뒤집기의 경우).

6.G.A.1Identify Subproblems

5STEP 5

오른쪽 아래 정사각형 재기

오른쪽 아래: 4 등분 사분면 중 정확히 1 개가 굵으므로 굵은 부분은 $\frac{1}{4}$ 입니다.

굵은 부분_우하 = 1/4 × 1 = 1/4

6STEP 6

굵은 부분 네 개 더하기

모든 조각을 분모 8로 맞춰 더하면 $\frac{2}{8}$ + $\frac{<span class="hl-ask">1</span>}{8}$ + $\frac{3}{8}$ + $\frac{2}{8}$ = 1, 정사각형 한 개분입니다.

총 굵은 넓이 = 1/4 + 1/8 + 3/8 + 1/4 = 2/8 + 1/8 + 3/8 + 2/8 = 8/8 = 1

7STEP 7

비를 백분율로 바꾸기

굵은 넓이 1을 전체 4와 비교하면 $\frac{1}{4}$ , 퍼센트로는 25% → (C)입니다.

굵게 표시된 비율 = 1/4 × 100% = 25% → (C)

정답

굵게 표시된 네 조각은

\frac{1}{4}

\frac{1}{8}

\frac{3}{8}

\frac{1}{4}

로 어느 것도 반을 넘지 않으니, 합은 큰 정사각형 약 한 개 분량이어야 합니다. 실제로 합이 정확히 1이 나오고, 전체 4로 나누면

\frac{1}{4}

= 25% 입니다. 이 값은 선택지 (B) 20% 와 (D) 33

\frac{1}{3}

% 사이에 자리하므로, "각 정사각형의 사분의 일 남짓" 이라는 그림의 인상과 잘 맞습니다.

💡핵심 정리

큰 정사각형 하나의 넓이를 1로 두고 굵은 조각을 분수로 읽어 더하면, 네 조각의 합이 1, 전체 4 중 $\frac{1}{4}$ , 즉 25% 입니다.

한 정사각형 넓이를 1로 두기
왼쪽 위 정사각형 재기
오른쪽 위 정사각형 재기
왼쪽 아래 정사각형 재기
오른쪽 아래 정사각형 재기
굵은 부분 네 개 더하기
비를 백분율로 바꾸기

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한 정사각형 넓이를 1로 두기

왼쪽 위 정사각형 재기

오른쪽 위 정사각형 재기

왼쪽 아래 정사각형 재기

오른쪽 아래 정사각형 재기

굵은 부분 네 개 더하기

비를 백분율로 바꾸기

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