AMC 8 · 2011 · #7

학년 6 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

area-rectanglesarea-trianglesfraction-arithmetic identify-subproblemsarea-difference ↑ 선수 지식: fraction-arithmeticarea-rectangles

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

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문제

합동인 큰 정사각형 4 개가 각각 합동인 삼각형이나 직사각형으로 잘려 있고, 각 정사각형 안의 일부 조각이 굵은 선으로 그려져 있습니다. 네 정사각형 전체를 한 덩어리로 봤을 때, 굵게 표시된 부분은 전체 넓이의 몇 퍼센트일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$12\frac{1}{2}$

(B)

(C)

(D)

$33\frac{1}{3}$

(E)

$37\frac{1}{2}$

AMC 8 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

문제 자체가 시각적이므로 도구 #1(그림 그리기)이 가장 자연스러운 선두입니다 — 정사각형을 하나씩 다시 그려 분할선을 표시하고 굵게 표시된 조각을 색칠하면 그것이 차지하는 분수가 한눈에 보입니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 네 정사각형을 한꺼번에 다루는 대신 하나씩 처리하게 해 줍니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)는 정리용 트릭으로, 한 큰 정사각형의 변을 1 로 두면 정사각형 하나의 넓이는 1, 전체 넓이는 4 가 되어 변수 없이 모든 굵은 조각이 간단한 분수로 표현됩니다.

1STEP 1

큰 정사각형 하나의 넓이를 1 로 두면 네 정사각형의 전체 넓이는 4 입니다.

한 큰 정사각형 넓이 = 1, 전체 넓이 = 4

2STEP 2

왼쪽 위: 세로로 4 등분한 띠 중 1 개가 굵으므로 굵은 부분은 정사각형의 $\frac{1}{4}$ 입니다.

굵은 부분_좌상 =

\frac{1}{4}

× 1 =

\frac{1}{4}

3STEP 3

오른쪽 위: 오른쪽 위 사분면( $\frac{1}{4}$ )을 대각선으로 반 자른 삼각형이므로 굵은 부분은 $\frac{1}{8}$ 입니다.

굵은 부분_우상 =

\frac{1}{2}

\frac{1}{4}

\frac{1}{8}

4STEP 4

왼쪽 아래: 굵은 영역을 $\frac{1}{4}$ 사분면과 그 위 $\frac{1}{8}$ 삼각형으로 쪼개면 합은 $\frac{3}{8}$ 입니다.

굵은 부분_좌하 =

\frac{1}{4}

\frac{1}{8}

\frac{2}{8}

\frac{1}{8}

\frac{3}{8}

5STEP 5

오른쪽 아래: 4 등분 사분면 중 정확히 1 개가 굵으므로 굵은 부분은 $\frac{1}{4}$ 입니다.

굵은 부분_우하 =

\frac{1}{4}

× 1 =

\frac{1}{4}

6STEP 6

모든 조각을 분모 8 로 맞춰 더하면 $\frac{2}{8}$ + $\frac{<span class="hl-ask">1</span>}{8}$ + $\frac{3}{8}$ + $\frac{2}{8}$ = 1, 정사각형 한 개분입니다.

총 굵은 넓이 =

\frac{1}{4}

\frac{1}{8}

\frac{3}{8}

\frac{1}{4}

\frac{2}{8}

\frac{1}{8}

\frac{3}{8}

\frac{2}{8}

\frac{8}{8}

= 1

7STEP 7

굵은 넓이 1 을 전체 4 와 비교하면 $\frac{1}{4}$ , 퍼센트로는 25% → (C) 입니다.

굵게 표시된 비율 =

\frac{1}{4}

× 100% = 25% → (C)

정답

굵게 표시된 네 조각은

\frac{1}{4}

\frac{1}{8}

\frac{3}{8}

\frac{1}{4}

로 어느 것도 반을 넘지 않으니, 합은 큰 정사각형 약 한 개 분량이어야 합니다. 실제로 합이 정확히 1 이 나오고, 전체 4 로 나누면

\frac{1}{4}

= 25% 입니다. 이 값은 선택지 (B) 20% 와 (D) 33

\frac{1}{3}

% 사이에 자리하므로, "각 정사각형의 사분의 일 남짓" 이라는 그림의 인상과 잘 맞습니다.

💡핵심 정리

큰 정사각형 하나의 넓이를 1 로 두고 굵은 조각을 분수로 읽어 더하면, 네 조각의 합이 1, 전체 4 중 $\frac{1}{4}$ , 즉 25% 입니다.

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