경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2011 · #8
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AMC 8 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
각 주머니에서 칩을 하나씩 뽑는 방법은 3 × 3 = 9 가지뿐이므로, 도구 #11(표 만들기)로 3 × 3 덧셈표를 그리면 모든 합이 한눈에 보이고 빠뜨릴 일이 없습니다. 그다음 도구 #1(규칙 찾기)로 구조를 봅니다 — 홀수 + 짝수는 항상 홀수이고, 가장 작은 합(1+2=3)부터 가장 큰 합(5+6=11)까지 일정한 간격으로 늘어서므로 서로 다른 합은 3, 5, 7, 9, 11이 됩니다.
덧셈표 만들기
A 주머니 값은 왼쪽, B 주머니 값은 위쪽에 두고 3 × 3 덧셈표를 만들어 각 칸에 합 a + b 를 적습니다.
"한 집합의 각 원소와 다른 집합의 각 원소를 짝짓기" 를 정리하는 3학년식 방법이 덧셈표입니다 — 가능한 모든 쌍이 정확히 한 칸을 차지합니다.
3.OA.A.1Work Backwards아홉 개의 합 읽기
표의 아홉 개 합은 3, 5, 7, 5, 7, 9, 7, 9, 11이고, 중복을 지우면 3, 5, 7, 9, 11 이 남습니다.
합이 일정한 규칙으로 반복된다는 것 — 그리고 서로 다른 합이 3학년 등차 패턴을 이룬다는 것 — 을 알아차리는 것이 도구 #1(규칙 찾기)의 핵심 동작입니다.
표에 있는 아홉 개의 합은 서로 다른 아홉 개의 수가 아니며, 중복을 합치고 나면 서로 다른 값은 정확히 다섯 개, {3, 5, 7, 9, 11}만 남는다.
▸ 왜?
서로 다른 칩 쌍이 똑같은 합에 도달하기 때문에 그 칸들은 여러 값이 아니라 하나의 값이다 — 예를 들어 1+4와 3+2는 모두 5가 되고, 1+6, 3+4, 5+2는 모두 7이 된다.
▸ 왜?
A 주머니 칩을 2 큰 것으로 올리면서 B 주머니 칩을 2 작은 것으로 내리면 2를 한 항에서 다른 항으로 옮기는 것뿐이라 전체 합은 그대로다. 3+4=(1+2)+4=1+(2+4)=1+6 처럼 어느 부분을 먼저 더하는지 묶음만 바뀌었기 때문이다.
▸ 왜?
중복을 없애고 남는 합은 3, 5, 7, 9, 11이고, 이들을 1, 2, 3, 4, 5와 하나씩 짝지어 보면 이 모음이 다섯 개의 원소를 가진다는 것을 알 수 있다.
서로 다른 합 세기
집합 3, 5, 7, 9, 11 에는 원소가 5 개이므로 서로 다른 합은 5 가지입니다.
덧셈표에 등장하는 서로 다른 값의 개수를 세는 것도 3학년 곱셈의 "같은 묶음" 모형에서 항목을 세는 동작과 같습니다.
3.OA.A.1Work Backwards이 AMC 8 문제는 3학년 때 배운 덧셈표·패턴·세기만 있으면 풀 수 있어요!
- 덧셈표 만들기
- 아홉 개의 합 읽기
- 서로 다른 합 세기
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