경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2012 · #10
학년 7 counting답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
{0, 1, 2, 2}의 배열 수가 많지 않으므로 도구 #4(체계적으로 나열하기)가 빠짐도 중복도 없이 세는 가장 안전한 방법입니다 — 특히 두 개의 2가 서로 같다는 점 때문에 식만 외우면 헷갈리기 쉽습니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 천의 자리를 기준으로 깔끔하게 나눠줍니다: 천의 자리가 1 인 경우와 2 인 경우 (0은 올 수 없음). 두 경우를 따로 세서 더하는 편이 한 번에 다루는 것보다 훨씬 쉽습니다.
맨 앞에 올 숫자 정하기
1000 보다 큰 4자리 수는 천의 자리가 0이 아니어야 하고, 후보는 1과 2 뿐이므로 두 경우로 나눕니다.
천의 자리가 수의 크기를 결정한다는 것, 그리고 0이 오면 3자리 수가 되어 버린다는 것을 아는 건 4학년 자릿값 감각 그대로입니다.
4.NBT.A.2Identify Subproblems1로 시작하는 수 나열하기
경우 1 — 1로 시작하고 남은 {0, 2, 2}를 세 자리에 배열하면, 0이 들어갈 자리가 셋이라 3 개가 나옵니다.
하나뿐인 0이 들어갈 세 자리를 차례로 적어 보는 것은 7학년의 "체계적인 목록 만들기" 그대로입니다.
7.SP.C.8Introduce A Variable2로 시작하는 수 나열하기
경우 2 — 2로 시작하고 서로 다른 {0, 1, 2}를 배열하면, 세 숫자를 줄 세우는 6 가지라 6 개가 나옵니다.
서로 다른 세 항목을 줄 세우는 방법은 3 × 2 × 1 = 6 가지이고, 직접 나열해서 그 6 개를 모두 확인합니다.
7.SP.C.8Introduce A Variable두 경우 더하기
두 경우는 겹치지 않으니 그냥 더합니다: 3 + 6 = 9 개, 곧 (D)입니다.
겹치지 않는 경우의 수를 더해 합치는 것은 4학년 다단계 문장제의 기본 동작입니다.
이 수들의 개수는 1로 시작하는 것의 개수에 2로 시작하는 것의 개수를 더한 값이다.
▸ 왜?
모든 유효한 수는 1 또는 2로 시작하고 0으로는 절대 시작하지 않으므로, 첫 자리 숫자로 분류하면 각 수는 정확히 한 무리에만 들어가고 남는 것도 겹치는 것도 없다.
▸ 왜?
1000보다 큰 완전한 네 자리 수가 되려면 천의 자리에 0이 아닌 숫자가 와야 하고, 0, 1, 2, 2 중에서 0이 아닌 선택지는 1과 2뿐이다.
▸ 왜?
무리들이 서로 겹치지 않으면서 모든 경우를 남김없이 채우면, 각 무리의 크기를 더한 것이 전체의 크기와 같다.
▸ 왜?
1을 앞에 고정하면 마지막 세 자리에 0, 2, 2가 남는데, 두 2는 똑같아서 배열은 오직 하나뿐인 0이 어디에 놓이느냐로만 정해지므로, 수의 개수는 그 0이 들어갈 자리의 개수만큼이다.
▸ 왜?
하나뿐인 0이 들어갈 세 자리 각각이 완성된 수 하나와 정확히 짝지어지므로, 수를 세는 것은 자리를 세는 것과 같다.
▸ 왜?
2를 앞에 고정하면 마지막 세 자리에 서로 다른 세 숫자 0, 1, 2가 남고, 그 자리들을 하나씩 채우면 3가지, 그다음 2가지, 그다음 1가지 선택이 생긴다.
▸ 왜?
각 자리는 아직 쓰지 않은 숫자 중에서 고르는 독립적인 선택이고, 앞에서 무엇을 골랐든 각 단계의 선택지 수는 3가지, 그다음 2가지, 그다음 1가지로 정해져 있으며, 연속된 독립적 선택은 곱해서 합쳐지므로 전체는 3 × 2 × 1이다.
천의 자리 후보별로 경우를 나누어 체계적으로 나열하면, 이 AMC 8 문제는 7학년 표본 공간 세기로 빠르게 풀려요.
- 맨 앞에 올 숫자 정하기
- 1로 시작하는 수 나열하기
- 2로 시작하는 수 나열하기
- 두 경우 더하기
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